李善蘭恆等式

李善蘭恆等式為組合數學中的一個恆等式，由中國清代數學家李善蘭於1859年在《垛積比類》一書中首次提出，因此得名。

有冪級數^[1]和概率^[2]兩種證明方法。

表達式

${\displaystyle {\binom {n+k}{k}}^{2}=\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}^{2}{\binom {n+2k-j}{2k}}}$

其中${\displaystyle {\binom {k}{l}}={\frac {k!}{l!(k-l)!}}}$

與超幾何函數的關係

李善蘭恆等式是薩爾舒茨定理（英語：Generalized hypergeometric function#Saalschütz's theorem）的一個整數特例。

${\displaystyle {}_{3}F_{2}(a,b,-n;c,1+a+b-c-n;1)={\frac {(c-a)_{n}(c-b)_{n}}{(c)_{n}(c-a-b)_{n}}}.}$^{[3] [4]}

${\displaystyle \sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}^{2}{\binom {n+2k-j}{2k}}={\frac {(n+2k)!}{(2k)!n!}}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(-k)^{(j)}(-k)^{(j)}(-n)^{(j)}}{(1)^{(j)}(-n-2k)^{(j)}j!}}={\frac {(n+2k)!}{(2k)!n!}}{}_{3}F_{2}(-k,-k,-n;1,-n-2k;1)}$

${\displaystyle ={\frac {(n+2k)!(1+k)_{n}(1+k)_{n}}{(2k)!n!(1)_{n}(1+2k)_{n}}}={\frac {(n+2k)!(n+k)!(n+k)!(2k)!}{(2k)!n!k!k!n!(n+2k)!}}={\binom {n+k}{k}}^{2}}$

參見

• 組合數學
• 李善蘭

參考資料

1. 形式幂级数技巧的应用. [2013-12-10]. （原始內容存檔於2019-06-09）.
2. 李善兰恒等式的概率证明. [2013-12-10]. （原始內容存檔於2019-06-03）.
3. Yong Sup Kim and Arjun Kumar Rathie. A NEW PROOF OF SAALSCHUTZ’S THEOREM FOR THE ¨SERIES 3F2(1) AND ITS CONTIGUOUS RESULTS WITH APPLICATIONS (PDF). Commun. Korean Math. Soc. 27. 2012 [2018-06-12]. （原始內容 (PDF)存檔於2018-06-12）.
4. Bruce Sagan,Richard Stanley. Mathematical Essays in honor of Gian-Carlo Rota.