曲率半徑 (光學)

在光學，尤其是光學透鏡設計（英語：Optical lens design）中，曲率半徑有特定的定義及正負號約定。對於球面透鏡或反射鏡，該球面的球心稱作曲率中心（英語：Center of curvature），位於該光學系統的光軸上；鏡面的表面頂點則是光軸上另一點。從頂點到曲率中心的距離稱為該表面的曲率半徑。^[1]

光學上的曲率半徑符號約定

對於非球面鏡面，則可將鏡面傍軸的區域擬合合為球面並求出其曲率半徑，從而便可對其使用球面鏡成像的結論。^[2]

高斯約定下，各種透鏡鏡面的曲率半徑符號約定以及相應的關係（設觀察者在左方，光軸從左往右，其中${\displaystyle R_{1}}$、${\displaystyle R_{2}}$分別指的是左邊和右邊鏡面的曲率半徑）。

各國的光學文獻對幾何光學成像中線段和距離的正負號規定並不統一。^[3]許多本科物理教科書採用「高斯約定」^[2]（或稱「笛卡爾符號約定」^[4]）：由指定的點（譬如折射點）沿光線行進的方向運動所構成的線段為正，反之為負。^[3][4][5]若採用這種規定，並且設光軸從左往右（即觀察者在左方），那麼：^[2][6]

• 如果頂點位於曲率中心左側，則鏡面的曲率半徑為正。
• 如果頂點位於曲率中心右側，則鏡面的曲率半徑為負。

比如從側面看一塊雙凸透鏡，其左表面曲率半徑為正，右表面曲率半徑為負，而雙凹透鏡則正好相反。如果鏡面是平面，那麼該面的曲率半徑無窮大。^[6][7]

此外，也有令凹面鏡曲率半徑為正，凸面鏡曲率半徑為負的。^[7]

非球面

具有非球面輪廓的光學表面（例如非球面鏡的表面）也可定義曲率半徑。表面的輪廓通常可以用以下方程來描述：${\displaystyle R_{1}}$

${\displaystyle z(r)={\frac {r^{2}}{R\left(1+{\sqrt {1-(1+K){\frac {r^{2}}{R^{2}}}}}\right)}}+\alpha _{1}r^{2}+\alpha _{2}r^{4}+\alpha _{3}r^{6}+\cdots ,}$

其中光軸沿${\displaystyle z}$方向，${\displaystyle z(r)}$是表面上與光軸距離為${\displaystyle r}$處的一點在${\displaystyle z}$方向的位移（頂點處為位移零點，意即當${\displaystyle r=0}$時，${\displaystyle z(r)=0}$）。總可以通過適當選取${\displaystyle R}$和${\displaystyle K}$，使得參數${\displaystyle \alpha _{1}}$和${\displaystyle \alpha _{2}}$為零，此時${\displaystyle R}$即可看作曲率半徑， ${\displaystyle K}$為頂點（${\displaystyle r=0}$）處的圓錐常數（英語：Conic constant）。係數${\displaystyle \alpha _{i}}$描述表面與由${\displaystyle R}$和${\displaystyle K}$確定的軸對稱二次曲面的偏差。 ^[1][8]

參見

• 曲率半徑
• 半徑
• 基弧
• 基點
• 收斂 (光學)（英語：Vergence (optics)）

參考資料

1. Barbastathis, George; Sheppard, Colin. Real and Virtual Images (Adobe Portable Document Format). MIT OpenCourseWare. Massachusetts Institute of Technology: 4. [8 August 2017]. （原始內容存檔 (PDF)於2015-09-10） （English）. 引文格式1維護：未識別語文類型 (link)
2. 崔宏濱. 热学 光学 近代物理学（第二版）. 合肥: 中國科學技術大學出版社. 2018: 185，208–209. ISBN 978-7-312-02996-7.
3. 母國光, 戰元齡. 光学. 北京: 人民教育出版社. 1978: 50–51. CSBN 13012·0219.
4. Nave, Carl Rod. The Thin Lens Equation. HyperPhysics. Georgia State University. [8 August 2017]. （原始內容存檔於2000-10-12） （English）. 引文格式1維護：未識別語文類型 (link)
5. 易明. 现代几何光学. 南京: 南京大學出版社. 1986: 7–50. CSBN 13336·019.
6. 趙凱華. 新概念物理教程. 光学. 北京: 高等教育出版社. 2004: 46–52. ISBN 7-04-015562-1 （中文（中國大陸））.
7. 哈里德, 瑞斯尼克. 物理学基础（原书第六版）. 由李椿, 張三慧等翻譯. 北京: 機械工業出版社. 2005. ISBN 7-111-15715-X.
8. Smith, Warren J. Modern Optical Engineering, 4th ed. McGraw-Hill Professional. 2008: 512–515. ISBN 978-0-07-147687-4.