普法夫值

在數學中，普法夫值（英語：Pfaffian）pf(A) 是矩陣A的行列式的平方根。若A是反對稱矩陣，

${\displaystyle \operatorname {pf} (A)^{2}=\det(A),}$

即斜對稱矩陣的行列式總是可以寫成矩陣元素構成的整係數多項式的平方，且係數只取決於矩陣的大小。該多項式的值被稱為該斜對稱矩陣的普法夫值。

性質 

若A是2n x 2n的反對稱矩陣

${\displaystyle \operatorname {pf} (A^{\text{T}})=(-1)^{n}\operatorname {pf} (A).}$

${\displaystyle \operatorname {pf} (\lambda A)=\lambda ^{n}\operatorname {pf} (A).}$

${\displaystyle \operatorname {pf} (A)^{2}=\det(A).}$

若B是任何2n x 2n矩陣

${\displaystyle \operatorname {pf} (BAB^{\text{T}})=\det(B)\operatorname {pf} (A).}$

若A^TB是正定矩陣

${\displaystyle {\textrm {pf}}(A)\,{\textrm {pf}}(B)=\exp({\tfrac {1}{2}}\mathrm {tr} \log(A^{\text{T}}B)).}$

不然的是

${\displaystyle \mathrm {pf} (A)\,\mathrm {pf} (B)={\tfrac {1}{n!}}B_{n}(s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n}),\qquad \mathrm {where} \qquad s_{l}=-{\tfrac {1}{2}}(l-1)!\,\mathrm {tr} ((AB)^{l})}$

其中的B_n(s₁,s₂,...,s_n)是貝爾多項式（英語：Bell polynomials）。

應用

• 陳-高斯-博內定理，歐拉示性數是曲率形式的普法夫值
• 雙體模型 ^[1]

閱讀

• Zhang, Fuzhen, ed. The Schur complement and its applications. Vol. 4. Springer Science & Business Media, 2006.
• https://web.archive.org/web/20160305005223/http://jesusmtz.public.iastate.edu/soliton/REPORT%202.pdf（孤子）
• http://alexandria.tue.nl/repository/freearticles/597510.pdf （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

參考文獻

1. Propp, James. Lambda-determinants and domino-tilings. arXiv:math/0406301. 2004-06-15 [2020-01-31]. （原始內容存檔於2021-01-01）.