普拉托問題

普拉托問題（英語：Plateau's problem）是數學中與極小曲面有關的一類問題，旨在研究在邊界固定時極小表面的存在性。此問題最早由18世紀的法國數學家拉格朗日在1760年提出。而之後比利時人約瑟夫·普拉托在19世紀進行了大量關於皂液膜（肥皂泡）的實驗，並總結出了一些與極小曲面以及此問題有關的定律（普拉托定律）。普拉托問題是變分法研究的一個分支。普拉托問題中的極小曲面的存在性以及其正則性（是否可微，是否光滑等等）是幾何測度理論的研究對象。數學家們首先從解決普拉托問題的各種約束下的特殊情況開始。1930年，傑西·道格拉斯和蒂波·拉多得到了在映照（浸入）參照下的一般解。兩人的方法有很大差別。拉多的方法建立在加尼爾的工作上，只能證明邊界為可求長的簡單閉曲線的情況。道格拉斯則運用了全新的思路，對任意的簡單閉曲線都適用。兩人的方法都包括了求解最小值問題，不同之處為道格拉斯最小化的對象是現在稱為「道格拉斯積分」的積分式，而拉多最小化的對象是類似於保守場的「能量」。道格拉斯因這方面的工作獲得了1936年的菲爾茲獎.

更高維度空間中的普拉托問題（關於n維歐幾里得空間 $\mathbb {R} ^{n}$ 中的k維曲面上極小曲面的問題）比三維空間中曲面的普拉托問題更為困難。不僅如此，與三維空間中曲面的普拉托問題的解總是正則的特性不同，研究發現擴展到高維空間中的普拉托問題的解在 k ≤ n − 2 可能出現不規則的奇點。當曲面是超平面的時候（即曲面維度 k = n − 1 的時候），則只在空間維度 n ≥ 8 的時候解會出現不規則的奇點。

參見

參考來源

Douglas, Jesse. Solution of the problem of Plateau. Trans. Amer. Math. Soc. (Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 33, No. 1). 1931, 33 (1): 263–321. JSTOR 1989472. doi:10.2307/1989472.
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