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星形菱形三十面體
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在幾何學中,星形菱形三十面體是指菱形三十面體的星形化體,即把菱形三十面體的面和邊沿伸直到向外相交成星形的立體。溫尼爾在他的書《多面體模型》中列出許多星形多面體模型,其中也收錄了一些星形菱形三十面體[1],例如內側菱形三十面體[2][3]。
歷史
星形菱形三十面體是一種多面體類型,屬於此類的多面體數量非常龐大。埃德(Ede)在1958年時列舉了13種基本的星形菱形三十面體類型[4]。鮑萊(Pawley)在1973年時提出了一些規則以令星形菱形三十面體可以完全被枚舉[5]。
這些多面體種類繁多,大多都並未被觀察及描繪,因此大多數並未命名。梅塞爾(Messer)在1995年描述了其中227個星形化體[6](含原像菱形三十面體在內,即1種凸多面體和226種星形多面體[7][8])。
種類
菱形三十面體透過全部匹配能產生227種星形菱形三十面體[9],其中包括了115個鏡像不變的立體和112個具有手性鏡像的立體;透過米勒的規則[10] 可以產生7008358833098000000♠358833098種星形菱形三十面體,其中包括了7004849590000000000♠84959個鏡像不變的立體和7008358748139000000♠358748139種具有手性鏡像的立體[9]。
已命名的星形菱形三十面體
已命名的星形菱形三十面體十分少,其命名的原因多半與星形菱形三十面體無關,而是因為其他研究的同時剛好研究的立體屬於星形菱形三十面體,例如五複合立方體雖是一種星形菱形三十面體[11],但其因為是立方體複合體的相關研究而得名[12]。
黃金一百二十面體
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/52/First_stellation_of_rhombic_triacontahedron.svg/320px-First_stellation_of_rhombic_triacontahedron.svg.png)
第一星形菱形三十面體,又稱黃金一百二十面體,是菱形三十面體星形化的第一種形式,其對應形狀轉化為間單多面體(即去除自相交面隱沒於立體內部的面)後所形成的立體共由120個面、62個頂點和180條邊組成,且五種柏拉圖立體皆可以共用頂點地嵌入這個立體中。[13]
黃金一百二十面體的頂點座標都是由以下集合的元素組成[13]:
- {−φ³, −φ², −φ, 0, φ, φ², φ³}
其中,φ為黃金比例。
黃金一百二十面體的62個頂點,其中20個是來自一個正十二面體(或是為五個正四面體以兩種方式重和的五複合正四面體)、5x6=30個來自5個正八面體和12個來自一個正二十面體。[13]
列表
名稱 | 對稱群 | 圖像 | 星狀圖 |
---|---|---|---|
菱形三十面體 | Ih | ![]() |
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黃金一百二十面體 | Ih | ![]() |
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菱形六十面體[14] | Ih | ![]() |
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五複合立方體[12] | Ih | ![]() |
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內側菱形三十面體[2] | Ih | ![]() |
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大菱形三十面體[15] | Ih | ![]() |
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完全星形菱形三十面體[11] | Ih | ![]() |
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用途
部分星形菱形三十面體被一些數學學者認為是具代表性的立體,用於一些與幾何學相關著作的封面或標誌,例如大菱形三十面體[16][15]和菱形六十面體[i][17]。前者被用於多面體領域著名著作《正多胞形》的封面上[16][15],後者為Wolfram Alpha的標誌。[17]
參見
參考文獻
- Wenninger, Magnus(英語:Magnus J. Wenninger). Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974. ISBN 0-521-09859-9.
- Weisstein, Eric W. (編). Medial Rhombic Triacontahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英語). (原始內容存檔於2016-09-01).
- Medial Rhombic Triacontahedron. software3d.com. (原始內容存檔於2016-03-04).
- Pawley, G. S. "The 227 triacontahedra.". Geometriae Dedicata. 1975-08-01, 4 (2): pp.221–232. doi:10.1007/BF00148756. 引文格式1維護:冗餘文本 (link)
- George W. Hart. List of Stellations of the Rhombic Triacontahedron. Virtual Polyhedra. 1996 [2020-08-17]. (原始內容存檔於2019-12-30).
- Paulo Freire. Stellations of the Rhombic Triacontahedron. mpifr-bonn.mpg.de. 1996 [2020-08-17]. (原始內容存檔於2019-05-04).
- Webb, R. "Enumeration of Stellations.". software3d.com. [2019-09-06]. (原始內容存檔於2019-04-27).
- Guy's. Stellation and facetting - a brief history. steelpillow.com. 2010-12-19 [2016-03-26]. (原始內容存檔於2016-03-04).
- George W. Hart. Stellations of the Rhombic Triacontahedron. Virtual Polyhedra. 1996 [2020-08-17]. (原始內容存檔於2019-12-29).
- Weisstein, Eric W. (編). Compound of Five Cubes. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英語).
- Lynnclaire Dennis' polyhedra. www.polyhedra-world.nc. 2005-06-25 [2022-07-30]. (原始內容存檔於2022-07-30).
- Weisstein, Eric W. (編). Rhombic hexecontahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英語).
- Weisstein, Eric W. (編). Great rhombic triacontahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英語).
- Coxeter, H. S. M. Regular Polytopes, 3rd ed. New York: Dover, p. 103, 1973. ISBN 978-0486614809
- Weisstein, E. W. "the-story-of-spikey". 2018-12-28 [2020-08-20]. (原始內容存檔於2020-07-18).
- 一手資料
- Weisstein, E. W. "What's In a Name? That Which We Call a Rhombic Hexecontahedron.". 2009-05-19 [2020-08-20]. (原始內容存檔於2020-02-15).