數學形態學

數學形態學（Mathematical morphology） 是一門建立在格論和拓撲學基礎之上的圖像分析學科，是數學形態學圖像處理的基本理論。其基本的運算包括：腐蝕和膨脹、開運算和閉運算、骨架抽取、極限腐蝕、擊中擊不中變換、形態學梯度、Top-hat變換、顆粒分析、流域變換等。

在二值形態學中，一個圖案被看做是 $n$ 維歐幾里得空間 $\mathbb {R} ^{n}$ 或網格 $\mathbb {Z} ^{n}$ 的子集。

在二值結構學中，結構元素為一個二值影像，作為分析影像時使用的「探針」，代表當處理影像上的某點時、要取出周圍的哪些點進行運算。^[1]

以下是幾個常用的結構元素(將原圖寫作A、結構元素寫作B)：

待處理影像為二維類比影像 $A\in E=\mathbb {R} ^{2}$ ，使用的結構元素B為一以原點為圓心、半徑為r的圓盤。
待處理影像為二維類比影像 $A\in E=\mathbb {R} ^{2}$ ，使用的結構元素B為一以原點為中心的3x3方形。
待處理影像為二維類比影像 $A\in E=\mathbb {R} ^{2}$ ，使用的結構元素B為一以原點為中心的十字形，或寫作 $B=\{(-1,0),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,0)\}$ 。

二值形態學的基礎運算子為具平移對稱性的、與閔可夫斯基和直接相關的運算子。基礎運算子包含膨脹、腐蝕，以及由前兩者組合而成的開運算、閉運算。

膨脹(Dilation)的定義為「位於某個點的探針(結構元素)是否有探測到物件？」一個影像A經過結構元素B膨脹後的結果可寫為：^[1]

A\oplus B=\{x|B_{x}\cap A\neq \emptyset \}

.

其中 $B_{x}=\{x+b|b\in B\}$ ，代表結構元素平移x後的點集合，b是圖像B的元素的坐標。

另外也可寫為：

A\oplus B=\bigcup _{b\in B}A_{-b}

.

同上，其中 $A_{-b}$ 是指二值影像A經過平移-b後新的點集合。

腐蝕(Erosion)的定義為「位於某個點的探針(結構元素)是否全都有探測到物件？」一個影像A經過結構元素B腐蝕後的結果可寫為：^[1]

A\ominus B=\{x|B_{x}\subseteq A\}=\bigcap _{b\in B}A_{-b}

.

開運算(Opening)與閉運算(Closing)是使用相同結構函數的腐蝕與膨脹的組合：

開運算為先腐蝕再膨脹，

A\circ B=(A\ominus B)\oplus B

.

閉運算為先膨脹再腐蝕

A\bullet B=(A\oplus B)\ominus B

.

所有的運算子具有平移對稱性（英語：Translational_symmetry）
所有的運算子都是遞增的，例：如果 $A\subseteq C$ ，則 $A\oplus B\subseteq C\oplus B$ 且 $A\ominus B\subseteq C\ominus B$
膨脹具有交換律，例： $A\oplus B=B\oplus A$
膨脹具有結合律，例： $(A\oplus B)\oplus C=A\oplus (B\oplus C)$ ；另外腐蝕則為 $(A\ominus B)\ominus C=A\ominus (B\oplus C)$
如果B包含原點(0,0)，則有 $A\ominus B\subseteq A\circ B\subseteq A\subseteq A\bullet B\subseteq A\oplus B$
膨脹與腐蝕間的關係為： $A\oplus B=(A^{c}\ominus B^{s})^{c}$ ，上標 $^{c}$ 代表補集，上標 $^{s}$ 代表對原點的點對稱集合。
開運算與閉運算間的關係為： $A\bullet B=(A^{c}\circ B^{s})^{c}$
膨脹對聯集有分配律，例： $A\oplus (B\cup C)=(A\oplus B)\cup (A\oplus C)$ ；腐蝕對交集有分配律，例： $A\ominus (B\cap C)=(A\ominus B)\cap (A\ominus C)$
膨脹與腐蝕為彼此的廣義逆運算： $A\subseteq (C\ominus B)$ 若且為若 $(A\oplus B)\subseteq C$
開運算與閉運算是冪等的： $(A\bullet B)\bullet B=A\bullet B$