拋物柱面坐標系

拋物柱面坐標系（英語：Parabolic cylindrical coordinates）是一種三維正交坐標系。往 z-軸方向延伸二維的拋物線坐標系 ，則可得到拋物柱面坐標系。其坐標曲面是共焦的拋物柱面。拋物柱面坐標可以應用於許多物理問題。例如，物體邊緣的位勢論。

拋物柱面坐標系的幾個坐標曲面。紅色拋物柱面的 ${\displaystyle \sigma =2}$ 。黃色拋物柱面的 ${\displaystyle \tau =1}$ 。藍色薄面的 ${\displaystyle z=2}$ 。z-軸是垂直的，以白色表示。 x-軸以綠色表示。三個曲面相交於點 P （顯示為黑色的圓球），直角坐標大約為 ${\displaystyle (2,\ -1.5,\ 2)}$ 。

拋物線坐標系的 ${\displaystyle \sigma }$ 和 ${\displaystyle \tau }$ 的等值曲線。橫軸與縱軸分別為 x-軸與 y-軸。拋物線坐標系可以往 z-軸延伸。對於任意 z-坐標，這曲線圖都正確無誤。

基本定義

直角坐標 ${\displaystyle (x,\ y,\ z)}$ 可以用拋物柱面坐標 ${\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ z)}$ 表示為

${\displaystyle x=\sigma \tau }$ 、

${\displaystyle y={\frac {1}{2}}\left(\tau ^{2}-\sigma ^{2}\right)}$ 、

${\displaystyle z=z}$ ；

其中，${\displaystyle \sigma \geq 0}$ ，${\displaystyle \tau \geq 0}$ 。

坐標 ${\displaystyle \sigma }$ 為常數的曲線形成共焦的，凹性往 +y-軸的拋物柱面：

${\displaystyle 2y={\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}}$ ，

而坐標 ${\displaystyle \tau }$ 為常數的曲線形成共焦的，凹性往 -y-軸的拋物柱面：

${\displaystyle 2y=-{\frac {x^{2}}{\tau ^{2}}}+\tau ^{2}}$ 。

這些拋物柱面的焦線的位置都在 z-軸。

徑向距 ${\displaystyle r}$ 的公式為

${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\frac {1}{2}}\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)}$。

當解析經典力學的反平方連心力問題時，假若採用拋物柱面坐標的哈密頓-亞可比方程式，則會用到這很有用的公式。參閱 拉普拉斯-龍格-冷次向量^{[錨點失效]}。

標度因子

拋物柱面坐標 ${\displaystyle \sigma }$ 與 ${\displaystyle \tau }$ 的標度因子相等；而 ${\displaystyle z}$ 的標度因子是 1 ：

${\displaystyle h_{\sigma }=h_{\tau }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}}$ 、

${\displaystyle h_{z}=1}$ 。

無窮小體積元素是

${\displaystyle dV=\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)d\sigma d\tau dz}$ 。

拉普拉斯算子是

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \tau ^{2}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}}$。

其它微分算子，像 ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ 、${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ ，都可以用 ${\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ z)}$ 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

應用

拋物柱面坐標有一個經典的應用，這是在解析像拉普拉斯方程或亥姆霍茲方程這類的偏微分方程式。在這些方程式裏，拋物柱面坐標允許分離變數法的使用。個典型的例題是，有一塊半無限的平板導體，請問其周圍的電場為什麼？應用拋物柱面坐標，我們可以精緻地分析這例題。

參閱

參考文獻

• Philip M. Morse, Herman Feshbach. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. 1953: p. 658. ISBN 0-07-043316-X. 引文格式1維護：冗餘文本 (link)

• Henry Margenau, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. 1956: pp. 186–187. 引文格式1維護：冗餘文本 (link)

• Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 181. ASIN B0000CKZX7. 引文格式1維護：冗餘文本 (link)

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• Zwillinger D. Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett. 1992: p. 114. ISBN 0-86720-293-9. 引文格式1維護：冗餘文本 (link) Same as Morse & Feshbach (1953), substituting u_k for ξ_k。

• Moon P, Spencer DE. Parabolic-Cylinder Coordinates (μ, ν, z). Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions corrected 2nd ed., 3rd print ed. New York: Springer-Verlag. 1988: pp. 21–24 (Table 1.04). ISBN 978-0387184302. 引文格式1維護：冗餘文本 (link)

外部連結

• 數學世界的拋物柱面坐標系頁面 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）