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懸鏈曲面
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懸鏈曲面(又名懸垂曲面)是一個曲面,是將懸鏈線繞其準線旋轉而得(見右側動畫),故為一旋轉曲面。除了平面以外,懸鏈曲面也是第一個被發現的極小曲面,在1744年被萊昂哈德·歐拉發現且證明。[1]Jean Baptiste Meusnier也做了些早期的研究。[2]只有兩個曲面既為旋轉曲面又是最小曲面,即為平面與懸鏈曲面。[3] 懸鏈曲面可被以下參數式所定義:
![Thumb image](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5d/Catenoid.svg/320px-Catenoid.svg.png)
![Thumb image](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e3/Catenoid.gif/640px-Catenoid.gif)
![Thumb image](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3e/Catenoid.png)
其中,
且
為非零實數。
在圓柱座標系則有:
其中為實數。
理想狀態下,把一對經過肥皂溶液浸泡的圓形鐵環張開,就可以得到一個懸鏈面形狀的肥皂膜。這個現象的原理是由於肥皂膜會趨向於形成在固定邊界(鐵環)下表面積最小的旋轉曲面,根據這個原理,可以用變分法證明肥皂膜的形狀是懸鏈面。