廣義力

廣義力是拉格朗日力學裏面的一個基本概念。在一個物理系統裏，因為力${\displaystyle \mathbf {F} \,\!}$，一個粒子經過虛位移${\displaystyle \delta \mathbf {r} \,\!}$，所作的虛功${\displaystyle \delta W\,\!}$是

${\displaystyle \delta W=\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} \,\!}$。

轉換至廣義坐標${\displaystyle q_{1},\ q_{2},\ q_{3},\ \dots \ q_{N}\,\!}$，

${\displaystyle \delta W=\sum _{j=1}^{N}\ \mathbf {F} \cdot {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{j}}}\delta q_{j}\,\!}$。

在上面這個方程的右端，位於虛位移前面的這兩項的整體即為廣義力，用${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {F}}}\,\!}$表示為：

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{j}=\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{j}}}\,\!}$。

虛功與廣義力的關係是

${\displaystyle \delta W=\sum _{j=1}^{N}\ {\mathcal {F}}_{j}\delta q_{j}\,\!}$。

稱${\displaystyle {\mathcal {F}}_{j}\,\!}$為關於廣義坐標${\displaystyle q_{j}\,\!}$的廣義力。因為${\displaystyle {\mathcal {F}}_{j}q_{j}\,\!}$的量綱是功，如果${\displaystyle q_{j}\,\!}$是距離，則${\displaystyle {\mathcal {F}}_{j}\,\!}$與力的量綱相同；如果${\displaystyle q_{j}\,\!}$是角，則它與力矩的量綱相同。

參閱

• 拉格朗日力學
• 哈密頓力學
• 自由度
• 虛功