廣義逆陣

廣義逆（Generalized inverse）^[1]，是線性代數中針對矩陣的一種運算。一個矩陣A的廣義逆叫做A的廣義逆陣，是指具有部份逆矩陣的特性，但是不一定具有逆矩陣的所有特性的另一矩陣。假設一矩陣${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times m}}$及另一矩陣${\displaystyle A^{\mathrm {g} }\in \mathbb {R} ^{m\times n}}$，若${\displaystyle A^{\mathrm {g} }}$滿足${\displaystyle AA^{\mathrm {g} }A=A}$，則${\displaystyle A^{\mathrm {g} }}$即為${\displaystyle A}$的廣義逆陣。

廣義逆也稱為偽逆（pseudoinverse）^[2]，有些時候，偽逆特指摩爾－彭若斯廣義逆。

建構廣義逆陣的目的是針對可逆矩陣以外的矩陣（例如非方陣的矩陣）可以找到一矩陣有一些類似逆矩陣的特性。任意的矩陣都存在廣義逆陣，若一矩陣存在逆矩陣，逆矩陣即為其唯一的廣義逆陣。有些廣義逆陣可以定義在和結合律乘法有關的數學結構（例如半群）中。

提出廣義逆陣的原因

考慮以下的線性方程

${\displaystyle Ax=y}$

其中${\displaystyle A}$為${\displaystyle n\times m}$的矩陣，而${\displaystyle y\in {\mathcal {R}}(A)}$ ， ${\displaystyle A}$的列空間。 若矩陣${\displaystyle A}$為可逆矩陣，則${\displaystyle x=A^{-1}y}$即為方程式的解。而若矩陣${\displaystyle A}$為可逆矩陣

${\displaystyle AA^{-1}A=A}$

假設矩陣${\displaystyle A}$不可逆或是${\displaystyle n\neq m}$，需要一個適合的${\displaystyle m\times n}$矩陣${\displaystyle G}$使得下式成立

${\displaystyle AGy=y}$

因此${\displaystyle Gy}$為線性系統${\displaystyle Ax=y}$的解。 而同樣的，${\displaystyle m\times n}$階的矩陣${\displaystyle G}$也會使下式成立

${\displaystyle AGA=A}$

因此可以用以下的方式定義廣義逆陣：假設一個${\displaystyle n\times m}$的矩陣${\displaystyle A}$，${\displaystyle m\times n}$的矩陣${\displaystyle G}$若可以使下式成立，矩陣${\displaystyle G}$即為${\displaystyle A}$的廣義逆陣

${\displaystyle AGA=A}$

產生廣義逆陣

以下是一種產生廣義逆陣的方式^[3]：

1. 若${\displaystyle A=BC}$為其秩分解（英語：rank factorization），則${\displaystyle G=C_{r}^{-}B_{l}^{-}}$為${\displaystyle A}$的廣義逆陣，其中${\displaystyle C_{r}^{-}}$為${\displaystyle C}$的右逆矩陣，而${\displaystyle B_{l}^{-}}$為${\displaystyle B}$的左逆矩陣。
2. 若${\displaystyle A=P{\begin{bmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{bmatrix}}Q}$，其中${\displaystyle P}$及${\displaystyle Q}$為可逆矩陣，則${\displaystyle G=Q^{-1}{\begin{bmatrix}I_{r}&U\\W&V\end{bmatrix}}P^{-1}}$是${\displaystyle A}$的廣義逆陣，其中${\displaystyle U,V}$及${\displaystyle W}$均為任意矩陣。
3. 令${\displaystyle A}$為秩為${\displaystyle r}$的矩陣，在不失一般性的情形下，令${\displaystyle A={\begin{bmatrix}B&C\\D&E\end{bmatrix}}}$，其中${\displaystyle B_{r\times r}}$為${\displaystyle A}$的可逆子矩陣，則${\displaystyle G={\begin{bmatrix}B^{-1}&0\\0&0\end{bmatrix}}}$為${\displaystyle A}$的廣義逆陣。

廣義逆陣的種類

彭若斯條件可以用來定義不同的廣義逆陣：針對${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times m}}$及${\displaystyle A^{\mathrm {g} }\in \mathbb {R} ^{m\times n},}$

1.)	${\displaystyle AA^{\mathrm {g} }A=A}$
2.)	${\displaystyle A^{\mathrm {g} }AA^{\mathrm {g} }=A^{\mathrm {g} }}$
3.)	${\displaystyle (AA^{\mathrm {g} })^{\mathrm {T} }=AA^{\mathrm {g} }}$
4.)	${\displaystyle (A^{\mathrm {g} }A)^{\mathrm {T} }=A^{\mathrm {g} }A}$

若${\displaystyle A^{\mathrm {g} }}$滿足條件(1.)，即為${\displaystyle A}$的廣義逆陣，若滿足條件(1.)和(2.)，則為${\displaystyle A}$的廣義反身逆陣（generalized reflexive inverse），若四個條件都滿足，則為${\displaystyle A}$的摩爾－彭若斯廣義逆。

以下是一些其他種類的廣義逆陣

• 單邊逆矩陣（左逆矩陣或是右逆矩陣）若矩陣A的維度是${\displaystyle n\times m}$且為 滿秩，若${\displaystyle n>m}$則用左逆矩陣，若${\displaystyle n<m}$則用右逆矩陣。
  • 左逆矩陣為${\displaystyle A_{\mathrm {left} }^{-1}=\left(A^{\mathrm {T} }A\right)^{-1}A^{\mathrm {T} }}$，也就是${\displaystyle A_{\mathrm {left} }^{-1}A=I_{m}}$，其中${\displaystyle I_{m}}$為${\displaystyle m\times m}$單位矩陣。
  • 右逆矩陣為${\displaystyle A_{\mathrm {right} }^{-1}=A^{\mathrm {T} }\left(AA^{\mathrm {T} }\right)^{-1}}$，也就是${\displaystyle AA_{\mathrm {right} }^{-1}=I_{n}}$，其中 ${\displaystyle I_{n}}$為${\displaystyle n\times n}$單位矩陣。
• 德拉任逆矩陣（英語：Drazin inverse）
• 博特-達芬逆矩陣（英語：Bott–Duffin inverse）
• 摩爾－彭若斯廣義逆

應用

任何一種廣義逆陣都可以用來判斷線性方程組是否有解，若有解時列出其所有的解^[4]。若以下n × m的線性系統有解存在

${\displaystyle Ax=b}$

其中向量${\displaystyle x}$為未知數，向量b為常數，以下是所有的解

${\displaystyle x=A^{\mathrm {g} }b+[I-A^{\mathrm {g} }A]w}$

其中參數w為任意矩陣，而${\displaystyle A^{\mathrm {g} }}$為${\displaystyle A}$的任何一個廣義逆陣。解存在的條件若且唯若${\displaystyle A^{\mathrm {g} }b}$為其中一個解，也就是若且唯若${\displaystyle AA^{\mathrm {g} }b=b}$。

參考資料

1. Generalized Inverses: How to Invert a Non-Invertible Matrix (PDF). [2016-07-10]. （原始內容存檔 (PDF)於2016-11-30）.
2. Pseudo-Inverse of a Matrix. Inst.eecs.berkeley.edu. 2014-02-11 [2016-07-10]. （原始內容存檔於2016-08-15）.
3. Bapat, Ravindra B. Linear algebra and linear models. Springer Science & Business Media, 2012.springer.com/book （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
4. James, M. The generalised inverse. Mathematical Gazette. June 1978, 62: 109–114. doi:10.2307/3617665.

• Yoshihiko Nakamura. * Advanced Robotics: Redundancy and Optimization. Addison-Wesley. 1991. ISBN 0201151987.
• Zheng, B; Bapat, R. B. Generalized inverse A(2)T,S and a rank equation. Applied Mathematics and Computation. 2004, 155: 407–415. doi:10.1016/S0096-3003(03)00786-0.
• S. L. Campbell and C. D. Meyer. Generalized Inverses of Linear Transformations. Dover. 1991. ISBN 978-0-486-66693-8.
• Adi Ben-Israel and Thomas N.E. Greville. Generalized inverses. Theory and applications 2nd. New York, NY: Springer. 2003 [2016-07-08]. ISBN 0-387-00293-6. （原始內容存檔於2016-08-18）.
• C. R. Rao and C. Radhakrishna Rao and Sujit Kumar Mitra. Generalized Inverse of Matrices and its Applications. New York: John Wiley & Sons. 1971: 240. ISBN 0-471-70821-6.

相關條目

• 反元素
• 摩爾－彭若斯廣義逆
• 弱逆（英語：Weak inverse）

外部連結

• 15A09 數學學科分類標準中對於反矩陣及廣義逆陣的分類 search^{[永久失效連結]}