舒爾正交關係

舒爾正交關係（英語：Schur orthogonality relations）描述了有限群表示中的核心事實。它可以推廣到一般的緊群，特別是緊李群，比如旋轉群 SO(3)。此關係可藉由舒爾引理證明。

有限群

令 ${\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}(R)_{mn}}$ 是一個 |G| 階（即 G 有 |G| 個元素）有限群 ${\displaystyle G=\{R\}}$ 的一個不可約矩陣表示 ${\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}}$ 的矩陣元素。因為可以證明任何有限群的不可約矩陣表示等價於一個酉表示，我們假設 ${\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}}$ 是酉的：

${\displaystyle \sum _{n=1}^{l_{\lambda }}\;\Gamma ^{(\lambda )}(R)_{nm}^{*}\;\Gamma ^{(\lambda )}(R)_{nk}=\delta _{mk}\quad {\hbox{for all}}\quad R\in G,}$

這裡 ${\displaystyle l_{\lambda }}$ 是表示 ${\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}}$ 的（有限）維數^[1]。

正交關係，只對不可約表示的矩陣元素成立，是

${\displaystyle \sum _{R\in G}^{|G|}\;\Gamma ^{(\lambda )}(R)_{nm}^{*}\;\Gamma ^{(\mu )}(R)_{n'm'}=\delta _{\lambda \mu }\delta _{nn'}\delta _{mm'}{\frac {|G|}{l_{\lambda }}}.}$

這裡 ${\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}(R)_{nm}^{*}}$ 是 ${\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}(R)_{nm}\,}$ 的複共軛，求和遍及 G 的所有元素。如果兩個矩陣是在同一個不可約表示 ${\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}=\Gamma ^{(\mu )}}$，則克羅內克函數 ${\displaystyle \delta _{\lambda \mu }}$ 是單位；如果 ${\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}}$ 與 ${\displaystyle \Gamma ^{(\mu )}}$ 不等價則${\displaystyle \delta _{\lambda \mu }}$為零。其他兩個克羅內克函數則要求行與列的指標必須相等（${\displaystyle n=n'}$ 和 ${\displaystyle m=m'}$）才能得到一個非零的結果。這個定義也叫做廣義正交定理。

每個群有一個單位表示（所有群元素映為實數 1），這顯然是一個不可約表示。舒爾正交關係馬上給出

${\displaystyle \sum _{R\in G}^{|G|}\;\Gamma ^{(\mu )}(R)_{nm}=0}$

對 ${\displaystyle n,m=1,\ldots ,l_{\mu }}$ ，此式對任何不等於單位表示的不可約表示 ${\displaystyle \Gamma ^{(\mu )}\,}$成立。

例子

三個對象的 3! 個置換組成一個 6 階群，通常記作 ${\displaystyle S_{3}}$（對稱群）。這個群同構於點群 ${\displaystyle C_{3v}}$，由三重旋轉軸以及三個鉛直鏡面平面組成。這個群有一個二維不可約表示（l = 2）。在 ${\displaystyle S_{3}}$ 情形，通常將這個不可約表示利用楊氏表（楊氏矩陣）記作 ${\displaystyle \lambda =[2,1]}$ 而在 ${\displaystyle C_{3v}}$ 情形通常寫成 ${\displaystyle \lambda =E}$。在兩種情形不可約表示都由如下六個實矩陣組成，每個代表一個群元素^[2]

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\\\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {1}{2}}\\\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {1}{2}}\\\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\\end{pmatrix}}}$

元素 (1,1) 的正規化為：

${\displaystyle \sum _{R\in G}^{6}\;\Gamma (R)_{11}^{*}\;\Gamma (R)_{11}=1^{2}+1^{2}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}=3.}$

同樣可以證明其它矩陣元素 (2,2)、(1,2) 與 (2,1) 的正規化。元素 (1,1) 與 (2,2) 的正交性：

${\displaystyle \sum _{R\in G}^{6}\;\Gamma (R)_{11}^{*}\;\Gamma (R)_{22}=1^{2}+(1)(-1)+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)\left({\tfrac {1}{2}}\right)+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)\left({\tfrac {1}{2}}\right)+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}=0.}$

類似的關係對元素 (1,1) 與 (1,2) 的正交性成立，如是等等。容易驗證此例中所有對應矩陣元素之和為零，因為給定表示與恆等表示的正交性。

直接推論

矩陣的跡是對角矩陣元素之和，

${\displaystyle \operatorname {Tr} {\big (}\Gamma (R){\big )}=\sum _{m=1}^{l}\Gamma (R)_{mm}}$.

所有跡的集合 ${\displaystyle \chi \equiv \{\operatorname {Tr} {\big (}\Gamma (R){\big )}\;|\;R\in G\}}$ 是一個表示的特徵標。通常將一個不可約表示中矩陣的跡寫成 ${\displaystyle \chi ^{(\lambda )}}$

${\displaystyle \chi ^{(\lambda )}(R)\equiv \operatorname {Tr} \left(\Gamma ^{(\lambda )}(R)\right)}$.

利用這種記號我們可寫出多個特徵標公式：

${\displaystyle \sum _{R\in G}^{|G|}\chi ^{(\lambda )}(R)^{*}\,\chi ^{(\mu )}(R)=\delta _{\lambda \mu }|G|,}$

這可以用來檢驗一個表示是否是可約的（這些公式說明在任意特徵標表中一行是正交向量）。以及

${\displaystyle \sum _{R\in G}^{|G|}\chi ^{(\lambda )}(R)^{*}\,\chi (R)=n^{(\lambda )}|G|,}$

這幫助我們確認不可約表示 ${\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}}$ 在具有特徵標 ${\displaystyle \chi (R)}$ 的可約表示 ${\displaystyle \Gamma \,}$ 中包含的次數。

例如，如果

${\displaystyle n^{(\lambda )}\,|G|=96}$

這個群的階是

${\displaystyle |G|=24\,}$

則 ${\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}\,}$ 在給定「可約」表示 ${\displaystyle \Gamma \,}$ 中包含的次數是

${\displaystyle n^{(\lambda )}=4\,.}$

關於群特徵表參見特徵標理論。

緊群

有限群的正交關係推廣為緊群（包含緊李群，比如 SO(3)）本質上是簡單的：只要將在群上的求和換成在群上的積分。

每個緊群 ${\displaystyle G}$ 有惟一一個雙不變哈爾測度，使得群的體積是 1。將這個測度記成 ${\displaystyle dg}$。設 ${\displaystyle (\pi ^{\alpha })}$ 是 ${\displaystyle G}$ 的不可約表示的一個完備集合，設 ${\displaystyle \phi _{v,w}^{\alpha }(g)=<v,\pi ^{\alpha }(g)w>}$ 是表示 ${\displaystyle \pi ^{\alpha }}$ 的矩陣係數。正交關係可以敘述為兩部分 1) 如果 ${\displaystyle \pi ^{\alpha }\ncong \pi ^{\beta }}$ 則：

${\displaystyle \int _{G}\phi _{v,w}^{\alpha }(g)\phi _{v',w'}^{\beta }(g)dg=0}$

2)如果 ${\displaystyle \{e_{i}\}}$ 是表示空間 ${\displaystyle \pi ^{\alpha }}$ 的一個正交規範基，則：

${\displaystyle d^{\alpha }\int _{G}\phi _{e_{i},e_{j}}^{\alpha }(g)\phi _{e_{m},e_{n}}^{\alpha }(g)dg=\delta _{i,m}\delta _{j,n}}$

這裡 ${\displaystyle d^{\alpha }}$ 是 ${\displaystyle \pi ^{\alpha }}$ 的維數。這些正交關係以及所有表示的維數有限是彼得-外爾定理的推論。

例 S O ( 3 ) {\displaystyle SO(3)}

一個三參數群的例子是矩陣群 SO(3)，有所有 3×3 正交矩陣組成。這個群的一個可能的參數化是利用歐拉角： ${\displaystyle \mathbf {x} =(\alpha ,\beta ,\gamma )}$。界限是 ${\displaystyle 0\leq \alpha ,\gamma \leq 2\pi }$ 以及 ${\displaystyle 0\leq \beta \leq \pi }$。

體積元素 ${\displaystyle \omega (\mathbf {x} )\,dx_{1}dx_{2}\cdots dx_{r}}$ 的計算不僅取決於參數的選取，也取決於最終結果，即加權函數（測度） ${\displaystyle \omega (\mathbf {x} )}$ 的解析形式。

例如，SO(3) 的歐拉角參數化給出權重 ${\displaystyle \omega (\alpha ,\beta ,\gamma )=\sin \!\beta \,,}$，而 n, ψ 參數化給出權重t ${\displaystyle \omega (\psi ,\theta ,\phi )=2(1-\cos \psi )\sin \!\theta \,}$，其中 ${\displaystyle 0\leq \psi \leq \pi ,\;\;0\leq \phi \leq 2\pi ,\;\;0\leq \theta \leq \pi }$。

可以證明一個緊李群的不可約表示是有限維的並可選成酉的：

${\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}(R^{-1})=\Gamma ^{(\lambda )}(R)^{-1}=\Gamma ^{(\lambda )}(R)^{\dagger }\quad {\hbox{with}}\quad \Gamma ^{(\lambda )}(R)_{mn}^{\dagger }\equiv \Gamma ^{(\lambda )}(R)_{nm}^{*}.}$

簡記成

${\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}(\mathbf {x} )=\Gamma ^{(\lambda )}{\Big (}R(\mathbf {x} ){\Big )}}$

正交關係具有形式

${\displaystyle \int _{x_{1}^{0}}^{x_{1}^{1}}\cdots \int _{x_{r}^{0}}^{x_{r}^{1}}\;\Gamma ^{(\lambda )}(\mathbf {x} )_{nm}^{*}\Gamma ^{(\mu )}(\mathbf {x} )_{n'm'}\;\omega (\mathbf {x} )dx_{1}\cdots dx_{r}\;=\delta _{\lambda \mu }\delta _{nn'}\delta _{mm'}{\frac {|G|}{l_{\lambda }}},}$

群的體積是

${\displaystyle |G|=\int _{x_{1}^{0}}^{x_{1}^{1}}\cdots \int _{x_{r}^{0}}^{x_{r}^{1}}\omega (\mathbf {x} )dx_{1}\cdots dx_{r}.}$

我們注意到 SO(3) 的不可約表示是維格納D-矩陣（Wigner D-matrix）${\displaystyle D^{\ell }(\alpha \beta \gamma )}$，它們的維數是 ${\displaystyle 2\ell +1}$。故

${\displaystyle |SO(3)|=\int _{0}^{2\pi }d\alpha \int _{0}^{\pi }\sin \!\beta \,d\beta \int _{0}^{2\pi }d\gamma =8\pi ^{2},}$

它們滿足

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }D^{\ell }(\alpha \beta \gamma )_{nm}^{*}\;D^{\ell '}(\alpha \beta \gamma )_{n'm'}\;\sin \!\beta \,d\alpha \,d\beta \,d\gamma =\delta _{\ell \ell '}\delta _{nn'}\delta _{mm'}{\frac {8\pi ^{2}}{2\ell +1}}.}$

腳註

1. ${\displaystyle l_{\lambda }}$ 的有限性是由於一個有限群 G 的不可約表示包含於正則表示。
2. 這種選擇不是惟一的，這個矩陣的任意正交相似變換給出一個等價的不可約表示。

參考文獻

任何以物理或化學為目的的群表示論書籍中都會提到正交關係。下面更高等的書籍給出了證明：

• M. Hamermesh, Group Theory and its Applications to Physical Problems, Addison-Wesley, Reading (1962). (Reprinted by Dover).
• W. Miller, Jr., Symmetry Groups and their Applications, Academic Press, New York (1972).
• J. F. Cornwell, Group Theory in Physics, (Three volumes), Volume 1, Academic Press, New York (1997).