年金是指等額、定期的系列收支。[1]即用於描述這類以固定的時間周期以相對固定的方式發生的現金流。例如,分期付款賒購、分期償還貸款、發放養老金、分期支付工程款、每年相同的銷售收入等,都屬於年金收付形式。
分類
按照收付時點和方式的不同可以將年金分為普通年金、預付年金、遞延年金和永續年金等四種。
普通年金現值
普通年金的現值可以被表達為一個等比數列的總和。
考慮在
時刻分別發生數額為
的款項,總共發生
次的現金流(顯然,這是年金)。將在未來發生的款項根據換算周期內的利率
折現,這個年金的現值據此計算:[2]
![{\displaystyle \mathrm {=} {C}{\frac {1-(1+i)^{-n}}{i}}\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6787ddc65f0a45eeec9ebba02eca95d9630b3c54)
其中
稱為「年金因子」。上式同樣也適用於發生時間不同但等時間間隔的年金,比如,從第一年到第十年每年年底付款100元;其中,
是換算周期內對應的利率或當期收益率。[3]
若年金的支付永遠進行下去,沒有停止的那一天,這種年金被稱為永久年金。[4]永久年金現值的計算即令上式中
,則
,
![{\displaystyle PV\,=\,{\frac {C}{i}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c2bb441753cb50eec3bbfca3e13d08315d46f0f)
因此,前式可以看作是一個永久年金的現值減去一個推遲了
年的永久年金的現值所得。
需要注意的是,這些計算公式只有在滿足下述條件時才能成立:
- 無需考慮通貨膨脹,或者所用利率已將通貨膨脹考慮在內。
- 將來的支付具有相當高的發生可能性,或者利率已將信用風險考慮在內。
要了解更多,請參見金錢的時間價值。
普通年金終值
在考慮退休年金計劃或者定期儲蓄計劃時,有時需要計算年金終值。
根據終值計算公式:
![{\displaystyle FV_{A}=PV_{A}\times (1+i)^{n}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16606a799afc37ceab8f72edbed3f6b078b23db6)
其中:
為年金終值
為年金現值
為對應利率
為年金期數
按上文,已知普通年金現值計算公式,將其代入終值計算公式:
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}FV_{A}&={\frac {C}{i}}\times [1-{\frac {1}{\left(1+i\right)^{n}}}]\times (1+i)^{n}\\&={\frac {C}{i}}\times [(1+i)^{n}-1]\\&=C\times [{\frac {(1+i)^{n}-1}{i}}]\\\end{alignedat}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b61984dbe59bbaebf0d6280d4589b823646422e9)
已知
為計算終值時使用的[終值因子] (Future Value Factor),則上述公式可以簡化為:
![{\displaystyle FV_{A}=C\times {\frac {Future\,\ Value\,\ Factor-1}{i}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d6604d34a0f6704f350c51e84b34c7c0d6620c5)
我們稱
為[年金終值因子] (FV annuity factor)
最終簡化版的年金終值公式為![{\displaystyle FV_{A}=C\times FV\,\ annuity\,\ factor}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4bb0db604931b9b3179982308a65afe65884329)
普通年金終值的計算
假設A每年年末定期儲蓄10,000元人民幣,年利率5%,那麼到第四年年末,A定期儲蓄的終值是多少?
首先計算終值因子: ![{\displaystyle Future\,\ Value\,\ Factor=(1+0.05)^{4}=1.215506}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcd5f0bc5f122294c1a338d200eb090da62bc707)
接下來計算年金終值因子: ![{\displaystyle FV\,\ annuity\,\ factor=(1.22-1)/0.05=4.310119}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6beea0112ee6c387e3f7f3e10d4ec20ddac1ddab)
最後計算年金終值: ![{\displaystyle FV_{A}=10000\times 4.310119=43101.19}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f14e0d1a3cb132418ca787095bb668b95836ce7)
A所做定期儲蓄在第四年的終值為43101.19元。
參見
參考文獻
Khan, M.Y. Theory & Problems in Financial Management. Boston: McGraw Hill Higher Education. 1993. ISBN 9780074636831.