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以10為底的對數 来自维基百科,自由的百科全书
標準對數,也稱常用對數(英語:Common logarithm[註 1])在數學是以10為底數的對數函數,其逆函數是以10作基數的指數函數。
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底為10的對數表達式以log10(x)表示,有時以英文大寫字母L表示Log(x)[註 2]。計算機的標記通常是「log」,但數學家通常區分自然對數[註 3]和常用對數。為了區分開來,ISO 80000規範建議log10(x)應寫成lg (x),logₑ(x)應寫成ln (x)。
常用對數一般表示成,或簡寫成,正式寫法是;而常用對數逆函數為。
常用對數可令「十變一,億變八」(數算整數位以上的零的數目),多數用於比較並表達聲音強度(分貝)、酸鹼值、地震規模(芮氏震級)、星等等相差層次很大的數值。常見例子是化學用的氫離子指數,定義如
20世紀70年代初之前還沒有手持電子計算器可用,能倍增的機械計算器體積龐大,價格昂貴並不廣泛使用。相反,當計算所需的精度比使用計算尺能達到的要求更高時,科學,工程和導航用的是底數為10的對數表格。使用對數避免了繁瑣且容易出錯的筆算乘法和分割。對數非常有用,許多教科書的附錄都有底為10的對數表格。數學和導航手冊也包括三角函數的對數表。
底為10的對數一個重要特性使得它們在計算中非常有用,大於1的對數相差10倍的冪,小數部分都相同,對數表只需顯示小數部分,稱尾數(mantissa)。常用對數表通常列出範圍內各數的尾數,小數點後4至5位,如1000到9999。這範圍涵蓋尾數的所有可能值。
整數部分稱特徵(characteristic),可數算小數點必須移動多少位來計算,以便它僅在第一有效位的右側,如120的對數由以下計算得出:
最後數字(小數部分0.07918,或120的常用對數尾數)可在下表找到。小數點在120的位置告訴我們120的常用對數特徵是2。
大於0且小於1的數字有負對數,為了避免需要另外的表格將正負對數轉換回原數,有時會用小節符號表示:
特徵上的橫線表明其為負值,而尾數仍為正值,符號讀作「bar n」,讀作「bar 2 point 07918」。
以下示例用小節符號計算0.012×0.85=0.0102:
下表顯示如何將相同的尾數用於不同10次方的數字範圍:
數:5×10i | 常用對數:logn | 特徵i:floor(logn) | 尾數logn-特徵 | combined form |
---|---|---|---|---|
5000000 | 6.698970… | 6 | 0.698970… | 6.698970… |
50 | 1.698970… | 1 | 0.698970… | 1.698970… |
5 | 0.698970… | 0 | 0.698970… | 0.698970… |
0.5 | −0.301029… | −1 | 0.698970… | 1.698970… |
0.000005 | −5.301029… | −6 | 0.698970… | 6.698970… |
尾數對所有5×10i都通用,適用於任何正實數。
對數表每條尾數可以只列一次。在5×10i的例子中,0.698970(004336018…)列在5(或0.5或500等)之下一次。
以10為底的對數對計算最常用,工程師通常簡寫成「 lg( x ) 」。另一方面,數學家在表示自然對數的logₑ(x)時會寫成「 ln(x)」,這兩種符號現今都廣泛使用。
手持電子計算器由工程師而非數學家設計,遵循工程師的符號已成為慣例;記法「ln(x)」在發明電子計算器後大幅普及。
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