希爾伯特-施密特算子
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在數學中,一個希爾伯特-施密特算子(英語:Hilbert–Schmidt operator)(得名於大衛·希爾伯特和埃哈德·施密特), 是希爾伯特空間H上的有界算子A,有有限的希爾伯特-施密特範數
,
其中是H上的範數,
是H上的一組標準正交基,Tr是非負自伴算子的跡。[1][2]這裡指標集不一定可數。這個定義不依賴於基底的選擇,所以有
,
其中,
為
在p = 2時的Schatten範數(英語:Schatten norm)。在歐幾里得空間中,
也被稱為弗羅貝尼烏斯範數,得名於費迪南德·格奧爾格·弗羅貝尼烏斯。
兩個希爾伯特-施密特算子的乘積有有限的跡類範數;因此,如果A和B是兩個希爾伯特-施密特算子,希爾伯特-施密特內積可以如下定義
。
希爾伯特-施密特算子構成一個H上的有界算子的Banach代數(英語:Banach algebra)的雙邊*理想。它們構成一個希爾伯特空間,可以證明自然等距同構到希爾伯特空間的張量積(英語:Tensor product of Hilbert spaces)
,
其中H∗是H的對偶空間。
希爾伯特-施密特算子的集合在範數拓撲下是閉集,當且僅當H是有限維空間。
一類重要的例子是希爾伯特-施密特積分算子(英語:Hilbert–Schmidt integral operator)。
希爾伯特-施密特算子是二階核型算子(英語:Nuclear operator),因此是緊的。
另請參閱
- 弗羅貝尼烏斯內積(英語:Frobenius inner product)
參考文獻
- Weisstein, Eric W. (編). Hilbert–Schmidt Operator. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2016-12-13]. (原始內容存檔於2019-05-20) (英語).
- Voitsekhovskii, M.I., H/h047350, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4