局部性質

在數學中，一個現象如果是局部的，它在足夠小的或者任意小的點的鄰域內顯現。

一個拓撲空間被叫做展現局部性質，如果這個性質展現在「臨近」的每一點對於下面不同的情況:

第二種情況一般強於第一種情況，並且一定要小心區分這兩種情況的區別。舉個例子，一些變量在定義在局部緊性而引發出的不同情況對於局部的理解。

給一些等價概念(比如，同胚，等距變換)在拓撲空間之間，兩個空間是局部等價的，如果第一個空間的每一點有一個鄰域，這個鄰域等價於第二個空間的一個鄰域的話。

舉個例子，圓和線是十分不同的對象。一個人不能將圓拉伸使得圓看起來像直線在不造成缺口的情況下，也不能擠壓直線成為圓的形狀不通過部分重疊的情況下。

但是，一小部分的圓能夠拉伸同時壓平能夠看起來像一小部分的直線。因為這個原因，我們也許會說圓和直線局部等價。

簡單的，球面和平面是局部等價的。一個足夠小的觀察者站在球的表面(比如，一個人站在地球上)將會發現這時不能區別此時在平面上還是球面上。

讀一個無限群，「鄰域」理解成一個有限生成子群。一個無限群被叫做擁有局部性質P，如果每一個有限生成子群擁有性質P。舉個例子，一個群是局部有限的，如果每一個有限生成子群是有限的。一個群是局部可解的如果每一個有限生成子群是可解群。

對於有限群，一個「小鄰域」被理解為一個素階子群，一般叫做局部子群，一個不平凡的正規P階子群。一個性質被叫做是局部的如果它能夠被檢視在局部子群上。

對於交換環，代數幾何上的觀念使得它自然的擁有「小鄰域」在環被看做是素理想。一個性質被叫做是局部的如果他能夠在局部的環上被檢視到。舉個例子，平坦模是交換環上的局部性質，但是自由模則不是。參見模的局部化

單獨一個空間的性質