在經典力學裏,對於一個動力系統,隨著時間的演進,所有保持不變的物理量都稱為守恆量(conserved quantity),又稱為運動常數。[1]由於很多物理定律會表達某種守恆行為,對應的守恆量時常會出現於真實系統。例如,假設在某系統內涉及的作用力是保守力,則此系統的能量是守恆量。假設涉及的作用力是連心力,則此系統的角動量是守恆量。
根據動量守恆定律,假若一個粒子所感受到的外力,其總向量和為零,則這粒子的動量保持不變,是一個守恆量。在這狀況下,粒子會呈勻速運動或著靜止不變。[2]以方程式表達,假設粒子感受到的淨外力為零:
。
根據牛頓第二定律,淨外力與動量
的關係式為
。
所以,動量是一個常數,是一個守恆量。
根據角動量守恆定律,假若一個粒子所感受到的外力矩,其其總向量和為零,則這粒子的角動量保持不變,是一個守恆量。在這狀況下,粒子會呈勻角運動或直線運動。[2]以方程式表達,假設粒子感受到的淨外力矩
為零:
。
淨外力矩與角動量
的關係式為
。
所以,角動量是一個常數,是一個守恆量。
思考一個物理系統,其拉格朗日量是動能
與勢能
的差值:
。
通常,動能的參數為廣義速度
(符號上方的點號表示對於時間
的全導數),而勢能的參數為廣義坐標
,所以,拉格朗日量的參數為
。
這物理系統的運動軌道,以拉格朗日方程式表示為
;
其中,
是時間。
拉格朗日量對於時間的全導數為
。
將拉格朗日方程式代入,可以得到
。
定義「能量函數」
為
,
則能量函數與拉格朗日量的關係為
。
假若拉格朗日量顯性地與時間無關,
,
,則能量函數是一個常數,是一個守恆量。設定
,這常數
可以稱為這物理系統的能量。因此,這物理系統的能量守恆。