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大衍求一術,又名求一術,是中國數學史中通常被用來泛指南宋數學家秦九韶發明的求解中國剩餘定理的歷史算法(不是中國剩餘定理的現代算法)。秦九韶原來的《數書九章》求解一次同餘式組的算法的總稱叫做大衍總數術,或大衍術、而其中一個計算乘率的子程序,才是大衍求一術。
大衍術是秦九韶最得意的創作,特放在《數書九章》之首。歐洲直到18世紀德國數學家高斯,才有相類的結果。秦九韶大衍術領先世界五百餘年。
一次同餘式組問題,最早見於《孫子算經》卷下第二十六問:
有物不知其數,三三數之剩二,五五數之剩三,七七數之剩二。問物幾何?答曰:二十三。術曰:三三數之,賸二,置一百四十;五五數之,賸三,置六十三;七七數之,賸二 ,置三十。並之,得二百三十三,以二百一十減之,即得。凡三三數之,賸一,則置七十;五五數之,賸一,則置二十一;七七數之,賸一,則置十五。一百六以上,以一百五 減之,即得。
術曰:三數剩一下七十,五數剩一下二十一,七數剩一下五十。三位並之得二百三十三,滿一百五去之,減兩個一百五,餘二十三為答數
七數剩一,八數剩二,九數剩三,問本總數幾何?答曰:四百九十八
明嚴恭《通源算法》:[1]
今有散錢不知其數,作七十七穿之,欠五十湊穿,若作七十八穿之,不多不少。問錢數若干?答曰:二千一百六文
三人同行七十希,五樹梅花廿一支,七子團圓正半月,除百零五使得知
清代學者張敦仁在《求一算術》中提出大衍求一術源自《孫子算經》物不知數,後世學者,多從其說。但近年李儼、錢寶琮等學者提出大衍求一術很可能源自西漢《三統曆》中計算上元積年的「通其率」近似法,其後《古四分曆》和《乾象曆》沿用此法。[3][4]
事實上,秦九韶在《數書九章序》中就寫道:「獨大衍法不載《九章》,未有能推之者,歷家推演法頗用之」,「歷家雖用,其用不知,小試經世,姑推所為,述大衍第一。」
秦九韶大衍總數術原載《數書九章》第一卷上 大衍類 《蓍卦發微》:
置諸元數,兩兩連環求等,約奇弗約偶,遍約畢,乃變元數,皆曰定母,列右行,各立天元一為子,列左行,以定諸母,互乘左行之子,各得名曰衍數,次以各定母滿去衍數,各余名曰奇數,以奇數與定母,用大衍術求一。
定母:[,……]。
定母之中避免過多1,得到一個「1」即可。各定母為相應問數的因子;定母兩兩互為質數。定母的乘積稱為衍母,是問數的最小公倍數。
當奇數≠1時,從定母和奇數,用大衍求一術計算乘率;(i=1……n)。
秦九韶用大衍求一術解:
大衍求一術雲︰置奇右上,定居右下,立天元一於左上。先以右上除右下,所得商數與左上一相生,入左下。然後乃以右行上下,以少除多,遞互除之,所得商數隨即遞互累乘,歸左行上下。須使右上末後奇一而止,乃驗左上所得,以為乘率。
大衍 | 奇數 | |
0 | 定母 |
1 | 65 | |
0 | 83 |
1 | 65 | 0 |
1 | 18 | 1 |
4 | 11 | 3 |
1 | 18 | 0 |
4 | 11 | 0 |
5 | 7 | 1 |
9 | 4 | 1 |
5 | 7 | 0 |
9 | 4 | 0 |
14 | 3 | 1 |
23 | 1 | 1 |
14 | 3 | 0 |
1 (mod 83)
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