史密斯圖

史密斯圖（英語：Smith chart）是一種用於電子工程的圖表，工程師可以用它解決傳輸線和阻抗匹配電路的相關問題。史密斯圖可以將射頻電路的多種參數顯示在圖像上，同時它也是一種諾謨圖，即利用圖像進行計算的工具。在手工計算時，它能簡化許多繁雜的計算步驟。

史密斯圖（阻抗版本）

惠普8720A矢量網絡分析儀，測量結果顯示在史密斯圖上。

史密斯圖可以顯示的電路參數包括阻抗、導納、反射係數、散射參數（英語：Scattering parameters）（S參數）、等噪聲圓、等增益圓、穩定圓等。人們通常使用單位圓之內的區域，但單位圓之外依然具有數學意義，且具有振盪器設計和穩定性分析等應用。

在計算機出現後，史密斯圖的計算功能已經被軟件取代，但由於它能將電路參數隨頻率的變化以圖形化表示，遠比表格直觀，依然是十分有用的圖表。因此，大多數射頻電路分析軟件都支持用史密斯圖顯示數據。除了最簡單的阻抗表外，大多數測量儀器都可以在史密斯圖上繪製測量結果。同時，對於就讀電磁學、微波工程及射頻電子學的學生來說，在解決課本問題仍然很實用，至今仍是重要的教學用具。

歷史

該圖表是由菲利普·黑格·史密斯（Philip Hagar Smith）與水橋東作獨立^[1]發明。史密斯於1939年發明此圖^[2][3]，當時他在美國無線電公司工作，曾說過，「在我能夠使用計算尺的時候，我對以圖表方式來表達數學上的關聯很有興趣」。但日本無線電信公司（日語：日本無線電信）的水橋東作在1937年所發表的論文^[4]中就已提出這種圖表，比菲利普·史密斯早2年。因此在日本有主張此圖應改名為「水橋圖」或「水橋-史密斯圖」^[5][6]。

概述

史密斯圖的基本使用方法。電磁波順着特性阻抗為${\displaystyle Z_{0}}$的傳輸線前進，並在末端遇到以一阻抗為${\displaystyle Z_{L}}$的負載（其歸一化阻抗為z=Z_L/Z₀）。此時信號會產生反射，其反射係數為Γ。史密斯圖上的任何一點同時表示阻抗值z（左圖）和對應的反射係數Γ（右圖）。兩者的關係式為z=(1 + Γ)/(1 − Γ)。

史密斯圖是對二維直角坐標系的複平面的數學變換。阻抗實部（電阻）為正的數映射在圓圖之內，阻抗實部（電阻）為負的數映射在圓圖之外。通常人們所關注的是圓圖之內的區域，不考慮電阻為負數的情況。該數學變換的公式為

${\displaystyle \Gamma ={\frac {Z_{L}-Z_{0}}{Z_{L}+Z_{0}}}={\frac {z-1}{z+1}}}$

其中

${\displaystyle z={\frac {Z_{L}}{Z_{0}}}}$

${\displaystyle \Gamma }$代表其線路的反射係數，即S參數（英語：Scattering parameters）裡的S₁₁。${\displaystyle Z_{L}}$是電路的負載阻抗值。${\displaystyle Z_{0}}$是參考阻抗（又稱系統阻抗），一般選擇要研究的傳輸線的特性阻抗值，通常為50Ω。${\displaystyle z}$是歸一化阻抗。換言之，我們將一電路的復阻抗${\displaystyle Z_{L}}$與參考阻抗${\displaystyle Z_{0}}$相除，使歸一化阻抗為1，位於圖表的原點。使用歸一化阻抗的優點是，同一張史密斯圖適用於特性阻抗不同的各種系統。

圖表中的圓形線代表阻抗的實數值，即電阻值，中間的橫線與向上和向下散出的線則代表阻抗的虛數值，即由電容或電感在高頻下所產生的電抗，當中向上的是正數，為感性負載，向下的是負數，為容性負載。圖表最中間的點（1+j0）代表參考阻抗，即一個已阻抗匹配的電阻數值（${\displaystyle Z_{L}=Z_{0}}$），同時其反射係數的值會是零。圖表的邊緣代表其反射係數的長度是1，即100%反射。在圖邊的數字代表反射係數的角度（0-180度）和波長（由零至半個波長）。

有一些圖表是以導納值來表示，把上述的阻抗值版本旋轉180度即可。

參考資料

1. Smith Chart. ETHW.org. [March 30, 2021]. （原始內容存檔於2022-01-09）.
2. Smith, Phillip H. Transmission line calculator. Electronics. Vol. 12 no. 1. January 1939: 29–31.
3. Smith, Phillip H. An improved transmission line calculator. Electronics. Vol. 17 no. 1. January 1944: 130.
4. Mizuhashi, T. Theory of four-terminal impedance transformation circuit and matching circuit. The Journal of the Institute of Electrical Communication Engineers of Japan. December 1937: 1053–1058.
5. 岡村史良, "スミスチャートは日本人の獨創ではないか," （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 電気通信學會雑誌、第８號、pp.768-769 (1959).
6. 伊藤健一「インピーダンスのはなし」日刊工業新聞社 、p.26 (1999) ISBN 4-526-04463-6

參考書目

1. Field and Wave Electromagnetics, David K. Cheng, Addison Wesley, ISBN 0-201-52820-7