可去奇點

在複分析中，一個全純函數的可去奇點（removable singularity），有時稱為裝飾性奇點（cosmetic singularity）是這樣的點，在此處函數表面上沒有定義，但是通過細緻地分析，函數的定義域可以擴大到該奇點，使得延拓後的函數仍然全純。

例如函數：

${\displaystyle f(z)={\frac {\sin z}{z}}}$

對 ${\displaystyle z\neq 0}$ 有一個奇點 ${\displaystyle z=0}$。藉由定義 ${\displaystyle f(0)=1}$，可將此奇點消去，並得到全純的 sinc函數。

確切地，如果 ${\displaystyle U}$ 是複平面 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 的一個開集，${\displaystyle a}$ 是 ${\displaystyle U}$ 中一點，${\displaystyle f:U\backslash \{a\}\to \mathbb {C} }$ 是一個全純函數，如果存在一個在 ${\displaystyle U\backslash \{a\}}$ 與 ${\displaystyle f}$ 相等的全純函數 ${\displaystyle g:U\to \mathbb {C} }$，則 ${\displaystyle a}$ 稱為 ${\displaystyle f}$ 的一個可去奇點。如果這樣的 ${\displaystyle g}$ 存在，我們說 ${\displaystyle f}$ 在 ${\displaystyle a}$ 是可全純延拓的。

黎曼定理

黎曼關於可去奇點的定理指出了何時一個奇點是可去的：

定理： 設 ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} }$ 是複平面中的一個開集，${\displaystyle a\in D}$ 是其內的一個點，並且 ${\displaystyle f}$ 是定義在集合 ${\displaystyle D\backslash \{a\}}$ 上的一個全純函數。則下列情形是等價的：

i) ${\displaystyle f}$ 可全純延拓到 ${\displaystyle a}$。

ii) ${\displaystyle f}$ 可連續延拓到 ${\displaystyle a}$。

iii) 存在 ${\displaystyle a}$ 的一個鄰域，在它上面 ${\displaystyle f}$ 有界。

iv) ${\displaystyle \lim _{z\to a}(z-a)f(z)=0}$。

蘊含關係 i) ⇒ ii) ⇒ iii) ⇒ iv) 是平凡的。為了證明 iv) ⇒ i)，我們首先回憶到一個函數在一點的全純性等價於解析，即有一個冪級數表示。

定義：${\displaystyle h(z)={\begin{cases}(z-a)^{2}f(z)&z\neq a,\\0&z=a.\\\end{cases}}}$

顯然， ${\displaystyle h}$ 在 ${\displaystyle D\backslash \{a\}}$ 上是全純的，並且由 iv)有

${\displaystyle {\begin{aligned}h'(a):&=\lim _{z\to a}{\frac {h(z)-h(a)}{z-a}}=\lim _{z\to a}{\frac {(z-a)^{2}f(z)-0}{z-a}}\\&=\lim _{z\to a}(z-a)f(z)=0.\end{aligned}}}$

因此 ${\displaystyle h}$ 在整個 ${\displaystyle D}$ 上都全純，從而有在 ${\displaystyle a}$ 的泰勒級數：

${\displaystyle h(z)=a_{2}(z-a)^{2}+a_{3}(z-a)^{3}+\cdots .}$

所以

${\displaystyle g(z)={\frac {h(z)}{(z-a)^{2}}}}$

是 ${\displaystyle f}$ 在 ${\displaystyle a}$ 的全純延拓，這就證明了先前的斷言。

其它類型奇點

不像實變量函數，全純函數有足夠的剛性使得其孤立奇點可完全分類。一個全純函數的奇點要麼其實不是真正的奇點，即可去奇點，要麼是如下兩類居其一：

1. 受黎曼定理啟示，給定一個不可去奇點，我們可能問是否存在一個自然數 ${\displaystyle m}$ 使得 ${\displaystyle \lim _{z\to a}(z-a)^{m+1}f(z)=0}$ 。如果存在，${\displaystyle a}$ 稱為 ${\displaystyle f}$ 的一個極點，這樣最小的 ${\displaystyle m}$ 稱為 ${\displaystyle a}$ 的階數。所以可去奇點恰好是零階極點。一個全純函數在極點附近一致發散到無窮遠點。

1. 如果 ${\displaystyle f}$ 的一個孤立奇點 ${\displaystyle a}$ 既非可去奇點也非極點，則稱本性奇點。皮卡定理指出 ${\displaystyle f}$ 將任意穿孔開鄰域 ${\displaystyle U\backslash \{a\}}$ 映滿整個複平面，至多少一個可能的例外點。

參見

• 解析容度
• 可去不連續點