變速圓周運動

變速圓周運動（英語：Non-uniform circular motion）是圓周運動的一種，指的是物體移動的角速度隨着時間變化而變化的圓周運動。一個正在做變速圓周運動的物體，其各個位置向心加速度之和不等於零，切向加速度也不為零。^[1]

質點做變速圓周運動時，它的切向速度和角速度都在變化

過山車旋轉一周的過程就是變速圓周運動

圓周運動，藍色的是向心加速度

如果一個物體正在做變速圓周運動，則說明有外力正在改變圓周運動的性質，這個力可以是重力、正向力或摩擦力。生活中大部分的圓周（離心）運動，都存在切向的加速度，即為變速圓周運動。^[2]

在變速圓周運動的過程中，正向力${\displaystyle F_{N}}$和重力${\displaystyle G}$不在同一條直線上。過山車旋轉一周的過程就是變速圓周運動，在底部速度最快，頂端速度最慢。重力是這個過程中阻礙過山車做勻速圓周運動的主要因素。

受力分析

物體在做勻速圓周運動時，其所受的合力（向心力）永遠指向圓心。但是在變速圓周運動的過程中，物體所受合力指向圓心的分量${\displaystyle F_{R}}$產生向心加速度${\displaystyle a_{R}}$，使物體保持圓周移動。^[3]其相切分量${\displaystyle F_{\theta }\,}$則改變線速度的大小，因而產生一個圓周的切線加速度分量${\displaystyle a_{\theta }\,}$，其大小為：

${\displaystyle a_{tan}={\frac {dv}{dt}}}$

而向心加速度是由速度方向的變化所產生的，其大小和物體做勻速圓周運動時相同，均為：

${\displaystyle a_{R}={\frac {v^{2}}{r}}}$

此時物體總加速度的向量${\displaystyle a}$等於這兩個分量的矢量和：

${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {a_{tan}} +\mathbf {a_{R}} .}$

豎直平面內的變速圓周運動

繩球模型

沒有其他物體支持的物體在豎直平面內做圓周運動時（例如一個物體綁在繩子上做圓周運動），其能夠完成一個圓周運動的臨界條件為在物體通過圓周最頂端的時候，其受到的重力${\displaystyle G}$剛好充當了圓周運動的向心力${\displaystyle F_{R}}$，^[4]即${\displaystyle G=mg=mv^{2}/r=F_{R}}$，由此可以得到物體通過最高點的最小的速度為：

${\displaystyle v_{min}={\sqrt {gr}}}$

其中:

${\displaystyle g}$為重力加速度，

${\displaystyle r}$為圓周運動的半徑。

假設物體通過圓周最頂端的速度為${\displaystyle v_{top}}$，當${\displaystyle v_{top}>v_{min}}$時，物體能夠完成圓周運動。當${\displaystyle v_{top}<v_{min}}$時，物體在達到頂端之前就開始做斜拋運動。^[5]

杆球模型

有其他物體支持的物體在豎直平面內做圓周運動時（例如一個物體綁在輕杆上做圓周運動），由於有其他物體（輕杆）支撐，物體在頂端的最小速度為零，即${\displaystyle v_{top}=0}$。此時物體收到的力分別為重力${\displaystyle G}$和（輕杆的）支持力${\displaystyle F_{N}=mg}$。^[4]

參考資料

1. Overview of Non-Uniform Circular Motion^{[永久失效連結]}
2. 唐齊林, 教学和生活中的变速圆周运动, 東北師範大學物理學院 （中文） 使用|accessdate=需要含有|url= (幫助)
3. 普通物理上冊,東華書局,張天錫譯,Chapter5,ISBN 978-986-280-035-5
4. 變速圓周運動典型問題^{[永久失效連結]} 物理中國
5. 类比竖直面内几种圆周运动. [2013-08-02]. （原始內容存檔於2019-05-02）.