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在數學定義中,單射、滿射和雙射是指根據其定義域和陪域的關聯方式所區分的三類映射。
下圖對比了四種不同的情況:
一個映射稱為單射(一對一)如果每個可能的像最多只有一個變量映射其上。等價的有,一個映射是單射如果它把不同值映射到不同像。一個單射映射簡稱單射。形式化的定義如下。
一個映射稱為滿射(到上)如果每個可能的像至少有一個變量映射其上,或者說陪域任何元素都有至少有一個變量與之對應。形式化的定義如下:
既是單射又是滿射的映射稱為雙射. 映射為雙射當且僅當每個可能的像有且僅有一個變量與之對應。
雙射映射經常被用於表明集合X和Y是等勢的,即有一樣的基數。如果在兩個集合之間可以建立一個一一對應,則說這兩個集合等勢。
如果皆為有限集合,則這兩個集合中之間存在一個雙射,當且僅當X和Y的元素數相等。其實,在公理集合論中,元素數相同的定義被認為是個特例,一般化這個定義到無限集合需要導入基數的概念,這是一個區別各類不同大小的無限集合的方法。
範疇論的單態射、滿態射和同構是單射、滿射和雙射概念的推廣。在集合範疇中的單態射、滿態射和同構分別對應單射、滿射和雙射映射。
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