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在數學中,半群是閉合於結合性二元運算之下的集合 S 構成的代數結構。
半群的運算經常指示為乘號,也就是 或簡寫為 xy 來指示應用半群運算於有序對 (x, y) 的結果。
半群的正式研究開始於二十世紀早期。自從1950年代,有限半群的研究在理論計算機科學中變得特別重要,因為在有限半群和有限自動機之間有自然的聯繫。
集合S和其上的二元運算·:S×S→S。若·滿足結合律,即:∀x,y,z∈S,有(x·y)·z=x·(y·z),則稱有序對(S,·)為半群,運算·稱為該半群的乘法。實際使用中,在上下文明確的情況下,可以簡略敘述為「半群S」。
半群的正式研究比其他起步於十九世紀中期的代數結構如群或環要晚一些。一些來源[1][2]把(法語的)這個術語歸功於 J.-A. de Séguier 在1904年在《Élements de la Théorie des Groupes Abstraits》(《抽象群論基礎》)中的首次使用。這個術語的英語使用是在1908年 Harold Hinton 的《有限次序群的理論》中。在1970年,叫做《半群論壇》的新期刊(目前由Springer Verlag編輯)成為少見的完全關於半群理論的數學期刊之一。
Anton Suschkewitsch 經常被歸功獲得了關於半群的第一個非平凡的結果。他1928年的論文《Über die endlichen Gruppen ohne das Gesetz der eindeutigen Umkehrbarkeit》(《關於沒有唯一可逆性規則的有限群》) 確定了有限簡單半群的結構並證明了有限半群的極小理想(或Green關係 J-類)是簡單的[2]。在這個基點之上,半群理論的基礎進一步由 David Rees、James Alexander Green、Evgenii Sergeevich Lyapin、Alfred H. Clifford 和 Gordon Preston 建立。後面二人在 1961 年出版了半群理論的專論。
有限半群理論比它的無限對應者要更加發達。這特別根源於語法半群概念,和繼而在半群的偽品種和已經被證明在自動機理論中特別多產的所謂的形式語言品種之間的聯繫[3]。
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