割圓術 (劉徽)

三國時代數學家劉徽的割圓術是中國古代數學中「一個十分精彩的算法^[1]」。在此之前，圓周率採用「徑一周三」的實驗數據。東漢科學家張衡採用${\displaystyle \pi ={\frac {736}{232}}=3.172}$和${\displaystyle \pi ={\sqrt {10}}=3.16}$。劉徽認為${\displaystyle \pi ={\sqrt {10}}}$過大。^[2]。東漢天文學家王蕃採用${\displaystyle \pi ={142 \over 45}=3.156}$。這些圓周率都是實驗值，都只準確到二位數字。劉徽是中國數學史上最先創造了一個從數學上計算圓周率到任意精確度的迭代程序的數學家。他自己通過分割圓為192邊形，計算出圓周率在3.141024 與 3.142704之間，取其近似，並以 ${\displaystyle {157 \over 50}}$表示。這個數值準確到三位數字，比前人的圓周率數值都准，但他自己次承認這個數值偏小^[3]。後來劉徽發明一種快捷算法，可以只用96邊形得到和1536邊形同等的精確度，從而得令他自己滿意的${\displaystyle \pi =3.1416}$。

劉徽割圓術原理

劉徽割圓術簡單而又嚴謹，富於程序性，可以繼續分割下去，求得更精確的圓周率。南北朝時期著名數學家祖沖之用劉徽割圓術計算11次，分割圓為12288邊形，得圓周率${\displaystyle \pi }$=3.1415926，成為此後千年世界上最準確的圓周率。

圓面積公式

圓面積=圓的半周長X半徑

劉徽割圓術是建立在圓面積論的基礎之上的。他首先論證，將圓分割成多邊形，分割來越細，多邊形的邊數越多，多邊形的面積就和圓面積沒有差別了。他說，將6邊形一邊的長度乘以圓半徑，再乘3，得12邊形的面積。將12邊形的一邊長乘半徑，再乘6，得24邊形面積。越割越細，多邊形和圓面積的差越小。如此割了再割，最後終於和圓合為一體，毫無差別了^[4]。

6邊形的面積顯然和圓面積相差很多。

內接正12邊形面積 = 6邊形面積+6個藍色三角形面積，向圓面積趨近了一步。

正24邊形面積=6邊形面積+6個藍色三角形面積+12個黃色三角形面積，更加接近圓面積了。

顯然：

正12邊形面積 <正24邊形面積< 正48邊形面積<正96邊形面積……<內接6*2^N邊形面積<圓面積。

劉徽明顯已經掌握了無窮小分割和極限的概念：^[5]

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }}$ 內接 6*2^N邊形面積 ${\displaystyle \longrightarrow }$ 圓面積。

他又指出：6邊形之外，遺留了半徑的一小段d ，稱為余徑。將余徑d乘多邊形的一邊，所得長方形ABCD，已經越出圓周範圍之外。如果將圓周分割得很細，余徑d趨向於0，而長方形ABCD的面積也趨向於0^[6]。

顯然，劉徽之所以研究余徑，目的是從上限和下限兩個方面逐步逼近圓面積：

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }}$ 內接 6*2^N邊形面積 ${\displaystyle \longrightarrow }$ 圓面積${\displaystyle \longleftarrow \lim _{N\to \infty }}$ 內接 6*2^N邊形面積+6*2^N*d*L。

劉徽進一步證明圓面積=圓周/2 × 半徑。

關於多邊形的面積，劉徽有如下公式：

2 N邊形的面積= N邊形的半周長×R。

=${\displaystyle L\times {\frac {N}{2}}\times R}$,

其中L為N邊形的單邊長，R為圓半徑。

此公式可用劉徽出入相補原理證明： 將內接2N邊形，分割，然後重新排列成寬為 L x N/2, 高為R的長方形；

顯然2N邊形的面積=長方形面積=${\displaystyle {\frac {N}{2}}\cdot L\cdot R}$=N邊形的半周長 * R

當${\displaystyle N\longrightarrow \infty }$

N邊形的半周長${\displaystyle \longrightarrow }$圓的半周長

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }}$ 2N邊形面積=N邊形的半周長 * R ${\displaystyle \longrightarrow }$圓面積

所以

圓的半周長 * R = 圓面積^[7]

因此

圓周 = 2* 圓面積/R

圓周率${\displaystyle {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}}$圓周/直徑= 2* 圓面積/(R*2R)= 圓面積/R²

= ${\displaystyle \lim _{N\to \infty }}$ 2N邊形的面積/R²

割圓術程序

劉徽從半徑1尺圓的內接正6邊形開始，逐次分割為12邊形，24邊形，48邊形，96邊形。反覆使用勾股定理求得各多邊形的邊長，又用劉氏多邊形面積公式求多邊形面積。

分割6邊形為12邊形

劉徽割圓術原理

令圓直徑為2尺，折半得半徑1尺。圓內接正6邊形的邊長也是1尺。^[8] 如圖：

半徑OA=r=1尺=10寸

6邊形單邊長AB=M=10寸

從圓心O作AB的垂直平分線OC，將AB平分為二，

AP=BP=M/2，AP+BP=AB

垂直平分線OC和圓周相交於C，

作直線AC

AC就是12邊形的一邊，

OAP是一個直角三角形

弦=半徑=r=10寸

勾=AP=M/2=5寸

股OP 可用勾股定理求得：

令弦長=X，股長=G， 句長=M/2，則：

${\displaystyle {}G^{2}=r^{2}-\left({\frac {M}{2}}\right)^{2}=100-25=75}$ 平方寸

${\displaystyle {}G={\sqrt {r^{2}-{\frac {M^{2}}{4}}}}}$

因為1寸 =100000忽

1平方寸 =10000000000平方忽

${\displaystyle {}G={\sqrt {750000000000}}=866025{2 \over 5}}$忽^[9]

APC是一個小直角三角形

令小弦AC長度為m，令小句PC長度為j

${\displaystyle {}j=r-G=1000000-866025{2 \over 5}=133974{3 \over 5}}$忽

用勾股定理求m：

${\displaystyle {}m^{2}=\left({\frac {M}{2}}\right)^{2}+j^{2}}$

=${\displaystyle {}(500000)^{2}+(133974.6)^{2}=267949193445}$平方忽

12邊形的一邊長度${\displaystyle =m={\sqrt {267949193445}}=517638.09}$忽

12邊形的一邊長度的一半${\displaystyle ={m \over 2}={517638.09 \over 2}=258819.045}$忽

分割12邊形為24邊形

將上一輪的多邊形邊長m作為新一輪割圓的開始， 作替換M=m=12邊形的一邊長度${\displaystyle =517638.09}$忽 繼續將此多邊形的一邊平分，周而復始，重複使用^[10]：

${\displaystyle {}G={\sqrt {r^{2}-{\frac {M^{2}}{4}}}}}$

${\displaystyle {}j=r-G}$

${\displaystyle {}m^{2}=\left({\frac {M}{2}}\right)^{2}+j^{2}}$

${\displaystyle {}={\frac {M^{2}}{4}}+j^{2}}$

由上M^2已有現成數值${\displaystyle {}M^{2}=267949193445}$

${\displaystyle {\frac {M^{2}}{4}}={267949193445 \over 4}=66987298361}$

${\displaystyle {}G={\sqrt {r^{2}-{\frac {M^{2}}{4}}}}={\sqrt {1000000000000-66987298361}}=965925{4 \over 5}}$

${\displaystyle {}j=r-G=1000000-965925{4 \over 5}=34074{1 \over 5}}$

${\displaystyle {}m^{2}=({\frac {M}{2}})^{2}+j^{2}=66987298361+(34074{1 \over 5})^{2}=68148349466}$

24邊形一邊長度 ${\displaystyle m={\sqrt {68148349466}}=261052{2 \over 5}}$

分割24邊形為48邊形

將第二輪的多邊形邊長m作為第三輪割圓的起點^[11]， 作替換${\displaystyle M=m=261052{2 \over 5}}$

${\displaystyle {}M^{2}=m^{2}=68148349466}$

${\displaystyle {\frac {M^{2}}{4}}={68148349466 \over 4}=17037087366}$

${\displaystyle {}G={\sqrt {r^{2}-{\frac {M^{2}}{4}}}}={\sqrt {1000000000000-17037087366}}=991444{4 \over 5}}$

${\displaystyle {}j=r-G=1000000-991444{4 \over 5}=8555{1 \over 5}}$

${\displaystyle {}m^{2}=({\frac {M}{2}})^{2}+j^{2}={68148349466 \over 4}+(8555{1 \over 5})^{2}=17110278813}$

開平方，得48邊形一面${\displaystyle m={\sqrt {17110278813}}=130806}$忽

根據劉徽多邊形面積公式：

96邊形的面積= 48邊形的半周長×半徑=${\displaystyle m\times {\frac {48}{2}}\times r}$,

所以96邊形的面積${\displaystyle A_{96}=130806\times {\frac {48}{2}}\times 1000000}$

${\displaystyle ={130806\times 24\times 1000000}=31393440000000}$平方忽

${\displaystyle A_{96}={\frac {31393440000000}{10000000000}}=313{584 \over 625}}$ 平方寸

分割48邊形為96邊形

將第三輪的多邊形邊長m作為第四輪割圓的起點^[12]

作替換${\displaystyle M=m=130806}$忽

${\displaystyle M^{2}=m^{2}=17110278813}$

${\displaystyle {\frac {M^{2}}{4}}={17110278813 \over 4}=4277569703}$

${\displaystyle {}G={\sqrt {r^{2}-{\frac {M^{2}}{4}}}}={\sqrt {1000000000000-4277569703}}=997858{9 \over 10}}$

${\displaystyle {}j=r-G=1000000-997858{9 \over 10}=2141{1 \over 10}}$

${\displaystyle {}m^{2}=({\frac {M}{2}})^{2}+j^{2}={17110278813 \over 4}+(2141{1 \over 10})^{2}=4282154012}$

開方得

96邊形的一邊${\displaystyle m={\sqrt {4282154012}}=65438}$忽

根據劉徽多邊形面積公式：

192邊形的面積${\displaystyle A_{192}=}$96邊形的半周長×半徑=${\displaystyle m\times {\frac {96}{2}}\times r}$

所以192邊形的面積${\displaystyle A_{192}=65438\times {\frac {96}{2}}\times 1000000}$ 平方忽

${\displaystyle ={65438\times 48\times 1000000}=3141024000000}$平方忽

${\displaystyle A_{192}={\frac {3141024000000}{10000000000}}=314{64 \over 625}}$ 平方寸

劉徽圓周率不等式

劉徽圓周率不等式示意圖

劉徽利用多邊形面積差的幾何學，得出圓周率的雙邊不等式。

如圖：

黃色代表N邊形面積${\displaystyle A_{N}}$

黃色+綠色代表2N邊形面積${\displaystyle A_{2N}}$

綠色代表2N邊形面積與N邊形面積之差${\displaystyle D_{2N}}$=${\displaystyle A_{2N}-A_{N}}$

長方形ABCD面積${\displaystyle =2\times D_{2N}}$

C代表圓面積。

如下不等式成立：

${\displaystyle A_{2N}<C<A_{2N}+1\times D_{2N}}$

或

${\displaystyle A_{2N}<C<A_{N}+2\times D_{2N}}$

當N=96，2N=192：

192邊形面積 ${\displaystyle A_{192}=314{64 \over 625}}$

96邊形的面積 ${\displaystyle A_{96}=313{584 \over 625}}$

192邊形面積和96邊形的面積之差（差冪）${\displaystyle =D_{192}=A_{192}-A_{96}=314{64 \over 625}-313{\frac {584}{625}}}$

${\displaystyle D_{192}={105 \over 625}}$

${\displaystyle A_{192}<C<A_{96}+2\times D_{192}=A_{192}+D_{192}}$

${\displaystyle 314{64 \over 625}<C<313{584 \over 625}+2\times {105 \over 625}=314{64 \over 625}+{105 \over 625}}$

${\displaystyle 314{64 \over 625}<C<314{169 \over 625}}$

即

${\displaystyle 3.141024<\pi <3.142704}$

劉徽認為這個面積已經超過圓面積，所以將192邊形的面積的整數部分定為圓面積：

圓面積~192邊形面積=${\displaystyle 314{64 \over 625}=314.1024\approx 314}$

所以圓周率=圓面積/半徑²${\displaystyle \approx {\frac {314}{100}}={157 \over 50}(=3.14)}$

這就是徽率。

實際上只要計算精確度夠高，劉徽割圓術可以計算到任何精確度，不僅限於二位小數點。

圓周率捷法

劉徽在得圓周率=3.14之後，將這個數值和晉武庫中漢王莽時代製造的銅製體積度量衡標準嘉量斛的直徑和容積檢驗，發現3.14這個數值還是偏小。於是繼續割圓到1536邊形，求出3072邊形的面積，得到令自己滿意的圓周率${\displaystyle ={3927 \over 1250}=3.1416}$。但是劉徽卻不敘述「分割96邊形為192邊形」，「分割192邊形為384邊形」，「分割384邊形為768邊形」，「分割768邊形為1536邊形」：因為他發現了一個快捷的算法^[13]，只要利用96邊形的數據經過一次除法和一次加法，就可以獲得和計算到1536邊形同等的精確度 ${\displaystyle \pi =3.1416}$，省去了4次開方計算；畢竟在三國時代用籌算進行開方相當的繁難。

劉徽圓周率捷法乃是以他素有研究的多邊形面積差為基礎的。

令${\displaystyle D_{2N}}$表示2N邊形的面積${\displaystyle A_{2N}}$和N邊形的面積${\displaystyle A_{N}}$差

${\displaystyle D_{2N}=A_{2N}-A_{N}}$

${\displaystyle D_{96}}$，${\displaystyle D_{192}}$，${\displaystyle D_{384}}$，${\displaystyle D_{768}\cdots }$形成一個等比級數:

${\displaystyle D_{192}\approx {1 \over 4}\times D_{96}}$

${\displaystyle D_{384}\approx {1 \over 4}\times D_{192}}$

${\displaystyle D_{768}\approx {1 \over 4}\times D_{384}}$

因此

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{384}&{}\approx {\frac {1}{4}}D_{192}\\D_{768}&{}\approx \left({\frac {1}{4}}\right)^{2}D_{192}\\D_{1536}&{}\approx \left({\frac {1}{4}}\right)^{3}D_{192}\\D_{3072}&{}\approx \left({\frac {1}{4}}\right)^{4}D_{192}\\&{}\ \ \vdots \end{aligned}}}$

${\displaystyle {}\pi =A_{192}+D_{384}+D_{768}+D_{1536}+D_{3072}+\cdots \approx A_{192}+F\cdot D_{192}.}$

其中

${\displaystyle F={\frac {1}{4}}+\left({\frac {1}{4}}\right)^{2}+\left({\frac {1}{4}}\right)^{3}+\left({\frac {1}{4}}\right)^{4}+\cdots ={\frac {\frac {1}{4}}{1-{\frac {1}{4}}}}={\frac {1}{3}}.}$

${\displaystyle {}=\pi =A_{192}+\left({\frac {1}{3}}\right)D_{192}\sim {3927 \over 1250}=3.1416.\,}$

劉徽圓周率捷法，可以解釋如下幾個問題：^{[來源請求]}

1)為什麼劉徽割圓術以多邊形面積為基礎，因為圓周率捷法必須用到多邊形面積差。

2)劉徽對割圓術的陳述為什麼止於96邊形。因為他發明了一個便捷的方法，只用96邊形數據，就可以算出相當於1536邊形(甚至12288邊形)的精確度。

3)晉武庫一段的作者，非劉徽莫屬，而不可能出自祖沖之。面積差法本來就是他推求不等式 ${\displaystyle A_{192}<\pi <A_{192}+D_{192}}$的基礎。從 ${\displaystyle \pi <A_{192}+D_{192}}$到${\displaystyle \pi <A_{192}+{1 \over 3}\times D_{192}}$一脈相承。何況九章算術中全無「祖沖之注」的痕跡，而且一字不提祖沖之密率${\displaystyle \pi \approx {355 \over 113}}$。

劉徽的${\displaystyle \pi }$ =${\displaystyle 3927 \over 1250}$ 後來見於印度數學中，足證古印度數學採用劉徽注《九章算術》^[14]

割圓術迭代公式

如令半徑=1， 從

${\displaystyle {}G={\sqrt {r^{2}-{\frac {M^{2}}{4}}}}}$

${\displaystyle {}j=r-G}$

${\displaystyle {}m^{2}={\frac {M^{2}}{4}}+j^{2}}$

可簡化為：

${\displaystyle {}G={\sqrt {1-{\frac {M^{2}}{4}}}}}$

${\displaystyle {}m^{2}={\frac {M^{2}}{4}}+(1-G)^{2}}$

${\displaystyle m^{2}={\frac {M^{2}}{4}}+1-2\times G+G^{2}}$

${\displaystyle m^{2}={\frac {M^{2}}{4}}+1-2\times G+1-{\frac {M^{2}}{4}}}$

${\displaystyle m^{2}=2-2\times G=2-2\times {\sqrt {1-{\frac {M^{2}}{4}}}}}$

${\displaystyle m^{2}=2-{\sqrt {4-{M^{2}}}}}$

由此可得劉徽割圓術迭代公式：

${\displaystyle 2-m^{2}={\sqrt {2+(2-M^{2})}}}$

圓周率= 3*2^N * m

π的連平方根表示式

根據劉徽割圓術迭代公式：

${\displaystyle 2-m^{2}={\sqrt {2+(2-M^{2})}}}$

圓周率= 3*2^N * m

從半徑=1的內接6邊形開始：

各多邊形的一邊長m：

${\displaystyle m_{6}=M=1}$

${\displaystyle {}m_{12}={\sqrt {2-{\sqrt {2+1}}}}}$

${\displaystyle {}m_{24}={\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+1}}}}}}}$

${\displaystyle {}m_{48}={\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+1}}}}}}}}}$

${\displaystyle {}m_{96}={\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+1}}}}}}}}}}}$

半徑=1圓形正內接多邊形面積：

${\displaystyle {}\pi \approx A_{24}=m_{12}\cdot 6={\sqrt {2-{\sqrt {2+1}}}}\cdot 6}$

${\displaystyle {}\pi \approx A_{48}=m_{24}\cdot 12={\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+1}}}}}}\cdot 12}$

${\displaystyle {}\pi \approx A_{96}=m_{48}\cdot 24={\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+1}}}}}}}}\cdot 24}$

${\displaystyle {}\pi \approx A_{192}=m_{96}\cdot 48={\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+1}}}}}}}}}}\cdot 48}$

祖率

南北朝數學家祖沖之，並沒有發明新的方法計算圓周率^[15][16]，而是將劉徽割圓術的計算，繼續分割到12288邊形，又用劉徽多邊形面積公式，求得24576邊形的面積：

${\displaystyle A_{24576}=3.14159261864<\pi }$。

再用劉徽圓周率不等式：

${\displaystyle A_{24576}=3.14159261864<\pi <A_{24576}+D_{24576}}$。

其中：

${\displaystyle D_{24576}=A_{24576}-A_{12288}=0.0000001021}$

${\displaystyle A_{24576}=3.14159261864<\pi <3.14159261864+0.0000001021}$。

得不等式：

${\displaystyle 3.14159261864<\pi <3.141592706934}$。

取八位有效數字即得祖沖之著名的圓周率不等式：

${\displaystyle 3.1415926<\pi <3.1415927}$。

祖沖之算得的圓周率準確到小數點後7位，保持了世界最準確圓周率達900年之久。祖沖之熟悉何承天調日法，以3為弱率， 以4為強率，通過調日法計算7次得圓周率約率${\displaystyle {22 \over 7}>\pi }$，計算23次得密率${\displaystyle {355 \over 113}>\pi }$。

根據調日法計算出來的約率和密率都是強率；所謂約率只意味這個數值和圓周率的誤差較大，並無約率「小於」圓周率的意思。

和阿基米德割圓術比較

希臘數學家阿基米德用阿基米德割圓術計算圓周率，他的論證以計算線長為依據，在推導過程中不考慮多邊形面積面積，和劉徽的以面積計算為中心的割圓術成對照。他用兩套不同的方法方法，先多次分割圓的切線，證明π>${\displaystyle {223 \over 71}}$；另用內接多邊形，計算到96邊形，證明π<${\displaystyle {22 \over 7}}$，從而得到不等式

${\displaystyle {223 \over 71}<\pi <{22 \over 7}}$。

也就是 ${\displaystyle 3.140845<\pi <3.142857}$^[17]

劉徽得到的圓周率弱值3.141024和強值3.142704都比阿基米德準確^[18]。

十七次調日值　阿基米德弱值 3.140845 ＜ 劉徽弱值 3.141024 ＜ π ＜ 二十三次調日值　祖沖之密率 3.14159292035 ＜ 劉徽強值 3.142704 ＜ 七次調日值　阿基米德強值 3.142857 。

^[18]。

參見

• 割圓術 (趙友欽)
• 《九章算術》

參考

1. 吳文俊 《中國數學史大系》第三卷 367頁
2. 「增周太多，過其實矣」
3. 「此術微小」
4. 以六觚之一面乘半徑，因而三之，得十二觚之冪(中國古代數學文獻中冪指幾何圖形的面積)。若又割之，次以十二觚之一面乘半徑，因而六之，則得二十四觚之冪。割之彌細，所失彌少。割之又割，則與園合體，而無所失矣。」《九章算術》第一卷 方田 劉徽注
5. 最先指出這一點的日本數學史家三上義夫
6. 觚面之外，猶有餘徑，以面乘余徑，則冪出觚表，若夫觚之細者，與圓合體，則表無餘徑。表無餘徑則冪不出外矣。以一面乘半徑，觚而裁之，每輒自倍。」
7. 劉徽註：「故以半周乘半徑而為圓冪」。
8. 劉徽原文：

   術曰：「置圓徑二尺，半之為一尺，即圓里觚之面也。令半徑一尺為弦，半面五寸為句，為之求股。以句冪二十五寸減弦冪，餘七十五寸，開方除之下至秒忽，又一退法，求其微數。微數無名，知以為分子，以下為分母，約作五分忽之二，故得股八寸六分六厘二秒五忽五分忽之二。以減半徑，餘一寸三分三厘九毫七秒四忽五分忽之三，謂之小句。觚之半面，又謂之小股，為之求弦。其冪二千六百七十九億四千九百一十九萬三千四百四十五忽，余分棄之。開方除之，即十二觚之一面也。」
9. 三國時代還沒有發明小數點，而用分數表示個位以下的數
10. 劉徽原文：

    術曰：「亦令半徑為弦，半面為句，為之求股。置上小弦冪，四而一，得六百六十九億八千七百二十九萬八千三百六十一忽，余分棄之，即句冪也。以減弦冪，其餘開方除之，得股九寸六分五厘九毫二秒五忽五分忽之四。以減半徑，餘三分四厘七秒四忽五分忽之一，謂之小句。觚之半面又謂之小股。為之求小弦。其冪六百八十一億四千八百三十四萬九千四百六十六忽，余分棄之。開方除之，即二十四觚之一面也。」
11. 劉徽原文：

    術曰：「亦令半徑為弦，半面為句，為之求股。置上小弦冪，四而一，得一百七十億三千七百八萬七千三百六十六忽，余分棄之，即句冪也。以減弦冪，其餘，開方除之，得股九寸九分一厘四毫四秒四忽五分忽之四。以減半徑，餘八厘五毫五秒五忽五分忽之一，謂之小句。觚之半面又謂之小股。為之求小弦。其冪一百七十一億一千二十七萬八千八百一十三忽，余分棄之。開方除之，得小弦一寸三分八毫六忽，余分棄之，即四十八觚之一面」。
12. 劉徽原文：

    術日：「亦令半徑為弦，半面為句，為之求股。置次上弦冪，四而一，得四十二億七千七百五十六萬九千七百三忽，余分棄之，則句冪也。以減弦冪，其餘，開方除之，得股九寸九分七厘八毫五秒八忽十分忽之九。以減半徑，餘二厘一毫四秒一忽十分忽之一，謂之小句。觚之半面又謂之小股。為之求小弦。其冪四十二億八千二百一十五萬四千一十二忽，余分棄之。開方除之，得小弦六分五厘四毫三秒八忽，余分棄之，即九十六觚之一面。」
13. 最早由日本數學史家三上義夫提出
14. 《李儼.錢寶琮科學史全集》卷9 396頁
15. 清阮元撰《疇人傳》：「後祖沖之更創密法，仍是割之又割耳，未能於徽注之外，別立新術也」
16. 吳文俊主編《中國數學史大系》第二卷 219頁
17. 阿基米德原著 《量圓》 《中國數學史大系》 副卷第一 第二章 第三編 希臘 197-203頁
18. 阿基米德原著 《量圓》 《中國數學史大系》 副卷第一 第二章 第三編 希臘 203頁

延伸閱讀

• 吳文俊主編 《中國數學史大系》第三卷 第一章第三節 劉徽的割圓術 152-164頁 ISBN 7-303-04557-0
• 傅海倫編著 《中外數學史概論》 第四章 第三節 劉徽的割圓術 49-52頁 ISBN 987-7-03-018477-1