初值問題

在數學裏，初值問題是一個涉及微分方程式與一些初始條件的問題；這初始條件是微分方程式的未知函數在某些點的設定值。

以下是一些初值問題的例子：

${\displaystyle y'=0.85y,\qquad y(0)=19}$

${\displaystyle {\dot {y}}+3y=6t+5,\qquad y(0)=3}$

定義

一個初值問題涉及微分方程式

${\displaystyle y'(t)=f(t,\ y(t))\quad {\text{with}}\quad f:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} \,\!}$ ，

與在 ${\displaystyle f\,\!}$ 的定義域內的一點

${\displaystyle (t_{0},\ y_{0})\in \mathbb {R} \times \mathbb {R} \,\!}$ 。

這在 ${\displaystyle f\,\!}$ 的定義域內的點 ${\displaystyle (t_{0},\ y_{0})\,\!}$ 稱為初始條件。

• 假若初值問題的一個解是函數 ${\displaystyle y\,\!}$ ，則 ${\displaystyle y\,\!}$ 是微分方程式 ${\displaystyle y'(t)=f(t,\ y(t))\,\!}$ 的解，滿足 ${\displaystyle y(t_{0})=y_{0}\,\!}$ 。

• 對於更高階的問題，可視 ${\displaystyle \mathbf {y} \,\!}$ 為向量。每加高一個階，就増添一個分量給 ${\displaystyle \mathbf {y} \,\!}$ 。

解的存在性及唯一性

對於許多的初值問題，解的存在性及唯一性可以用計算機來描述。

若ƒ在一個包括t₀及y₀的區間內連續，且對變數y滿足利普希茨連續的條件．則皮卡-林德勒夫定理可保證在一個包括t₀的區間有唯一解。

此定理的證明需將問題變成等價的積分方程，積分可視為將一個函數映射為另一個函數的運算子，因此其解為運算子的不動點，再利用巴拿赫不動點定理證明有一個唯一的不動點．即為初值問題的解。

較早期證明皮卡-林德勒夫定理的方式是建構一個函數的數列，最終會收斂到積分方程的解，也就是初值問題的解。這種建構法稱為「皮卡法」或是「連續近似法」，是巴拿赫不動點定理的一個特例。

日本數學家岡村博（日語：岡村博）找到一個初值問題有唯一解的充分必要條件，其條件是要證實系統的李亞普諾夫函數存在^[1]。

有些情形，函數ƒ不是光滑函數，甚至不是利普希茨連續，因此一般可確認局部唯一解的方式無法適用。皮亞諾存在性定理可以在函數ƒ僅僅為連續函數的情形，證明存在局部解。不過此時無法證明解的唯一性^[2][3]。卡拉特歐多存在性定理（英語：Carathéodory existence theorem）可適用的範圍更廣，可以在ƒ是一些特定不連續函數的情形下證明局部解是否存在。

範例

例一

一個簡單的範例是求解${\displaystyle y'=0.85y}$及${\displaystyle y(0)=19}$，要求出一個${\displaystyle y(t)}$滿足上述二式。

由於${\displaystyle y'={\frac {dy}{dt}}}$，因此

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=0.85y}$

接下來重新整理方程式，使${\displaystyle y}$在等式左邊，${\displaystyle t}$在等式右邊

${\displaystyle {\frac {dy}{y}}=0.85dt}$

再將等式二邊積分，會引入未知常數${\displaystyle B}$

${\displaystyle \ln |y|=0.85t+B}$

消去${\displaystyle \ln }$

${\displaystyle |y|=e^{B}e^{0.85t}}$

令${\displaystyle C}$為一個新的未知常數，${\displaystyle C=\pm e^{B}}$，因此

${\displaystyle y=Ce^{0.85t}}$

現在需要找出${\displaystyle C}$的數值。利用${\displaystyle y(0)=19}$的啟始條件，將${\displaystyle t}$代入0，${\displaystyle y}$代入19

${\displaystyle 19=Ce^{0.85*0}}$

${\displaystyle C=19}$

因此可得其解為${\displaystyle y(t)=19e^{0.85t}}$.

例二

${\displaystyle {\dot {y}}+3y=6t+5,\qquad y(0)=3}$

利用拉普拉斯變換

${\displaystyle sY(s)-y(0)+3Y(s)={\frac {6}{s^{2}}}+{\frac {5}{s}}}$

${\displaystyle \therefore Y(s)={\frac {y(0)s^{2}+5s+6}{s^{2}(s+3)}}}$

利用部分分式分解

${\displaystyle Y(s)={\frac {\alpha }{s}}+{\frac {\beta }{s^{2}}}+{\frac {\gamma }{s+3}}}$

${\displaystyle \alpha =1,\beta =2,\gamma =y(0)-1}$

${\displaystyle Y(s)={\frac {1}{s}}+{\frac {2}{s^{2}}}+{\frac {y(0)-1}{s+3}}}$

拉普拉斯逆變換

${\displaystyle y(t)=2e^{-3t}+2t+1\,}$

參閱

• 邊值問題
• 柯西問題

參考資料

1. Okamura, Hirosi. Condition nécessaire et suffisante remplie par les équations différentielles ordinaires sans points de Peano. Mem. Coll. Sci. Univ. Kyoto Ser. A. 1942, 24: 21–28 （法語）.
2. Coddington, Earl A. and Levinson, Norman. Theory of ordinary differential equations. New York-Toronto-London: McGraw-Hill Book Company, Inc. 1955.Theorem 1.3
3. Robinson, James C. Infinite-dimensional dynamical systems: An introduction to dissipative parabolic PDEs and the theory of global attractors. Cambridge: Cambridge University Press. 2001. ISBN 0-521-63204-8.Theorem 2.6