擊中時 也稱為命中時 、首中時 ,是數學 中隨機過程 研究裡出現的一個概念,表示一個隨機過程首次接觸到狀態空間 的某個子集 的時間。在特定的例子中,也會被稱為離時 (脫離時間 )或回時 (首次回歸時間 )。
布朗運動過程的三個路徑,接觸到上限則結束
設
T
{\displaystyle T}
是一個有序的指標集 ,比如說是自然數 的集合
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
、非負實數 集
R
+
=
[
0
,
+
∞
)
{\displaystyle \mathbb {R} ^{+}=[0,+\infty )}
或者是這兩者的子集。
T
{\displaystyle T}
中的一個元素
t
∈
T
{\displaystyle t\in T}
可以被認為是一種記錄時間 的方式(離散或連續型)。給定一個概率空間
(
Ω
,
F
,
P
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}
,一個可測狀態空間
S
{\displaystyle S}
,設
X
:
Ω
×
T
→
S
=
(
X
t
)
t
∈
T
{\displaystyle X:\,\,\Omega \times T\rightarrow S=\left(X_{t}\right)_{t\in T}}
為一個隨機過程,並設
A
{\displaystyle A}
為
S
{\displaystyle S}
中的一個可測 子集。那麼,隨機過程
(
X
t
)
t
∈
T
{\displaystyle \left(X_{t}\right)_{t\in T}}
首次接觸子集
A
{\displaystyle A}
的擊中時定義為以下的隨機變量 [ 1] :155 :
τ
A
Ω
⟶
T
¯
{\displaystyle \tau _{A}\Omega \longrightarrow {\overline {T}}}
τ
A
(
ω
)
:=
inf
{
t
∈
T
|
X
t
(
ω
)
∈
A
}
.
{\displaystyle \tau _{A}(\omega ):=\,\,\inf\{t\in T\,|\,X_{t}(\omega )\in A\}.}
同樣,可以定義
(
X
t
)
t
∈
T
{\displaystyle \left(X_{t}\right)_{t\in T}}
首次離開子集
A
{\displaystyle A}
的離時:
ϵ
A
(
ω
)
:=
inf
{
t
∈
T
|
X
t
(
ω
)
∉
A
}
=
inf
{
t
∈
T
|
X
t
(
ω
)
∈
A
c
}
=
τ
A
c
.
{\displaystyle \epsilon _{A}(\omega ):=\,\,\inf\{t\in T\,|\,X_{t}(\omega )\notin A\}=\,\inf\{t\in T\,|\,X_{t}(\omega )\in A^{c}\}=\tau _{A^{c}}.}
可以看出離時實際上也是擊中時的一種,表示首次接觸到要研究的子集的補集 的時間。很多時候,離時也會記為
τ
A
{\displaystyle \tau _{A}}
,和擊中時一樣。
另外一種擊中時是
(
X
t
)
t
∈
T
{\displaystyle \left(X_{t}\right)_{t\in T}}
後首次回到出發點
{
X
0
(
ω
)
}
{\displaystyle \{X_{0}(\omega )\}}
的擊中時,稱為回時或首次回歸時間:
τ
0
(
ω
)
:=
inf
{
t
∈
T
|
X
t
(
ω
)
=
X
0
(
ω
)
}
.
{\displaystyle \tau _{0}(\omega ):=\,\,\inf\{t\in T\,|\,X_{t}(\omega )=X_{0}(\omega )\}.}
設
(
W
t
)
t
∈
R
+
{\displaystyle \left(W_{t}\right)_{t\in \mathbb {R} ^{+}}}
為
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
上標準的布朗運動過程 ,則對於任意(實數的)波萊爾 可測子集
A
{\displaystyle A}
,都可以定義首次接觸
A
{\displaystyle A}
的擊中時
τ
A
W
{\displaystyle \tau _{A}^{W}}
,並且可以證明這樣定義的擊中時
τ
A
W
{\displaystyle \tau _{A}^{W}}
都是停時。
如果定義標準布朗運動
(
W
t
)
t
∈
R
+
{\displaystyle \left(W_{t}\right)_{t\in \mathbb {R} ^{+}}}
首次離開區間
A
r
=
(
−
r
,
r
)
{\displaystyle A_{r}=(-r,r)}
的離時為
ϵ
r
W
=
τ
A
r
c
W
{\displaystyle \epsilon _{r}^{W}=\tau _{A_{r}^{c}}^{W}}
,那麼這個離時也是停時,它的數學期望 是:
E
(
ϵ
r
W
)
=
r
2
{\displaystyle \mathbb {E} (\epsilon _{r}^{W})=r^{2}}
,方差 是
Var
(
ϵ
r
W
)
=
2
3
r
4
.
{\displaystyle \operatorname {Var} (\epsilon _{r}^{W})={\frac {2}{3}}r^{4}.}
對於給定的概率空間,隨機過程首次進入狀態空間中的一個可測子集
F
{\displaystyle F}
的擊中時也稱為
F
{\displaystyle F}
的首發時間(début )。首發定理說明,如果隨機過程是循序可測 的,那麼可測子集的首發時間一定是停時。循序可測過程包括所有的左連續適應過程 和右連續適應過程。首發定理的證明用到了解析集 的性質。首發定理需要概率空間是完全概率空間 。
首發定理的逆定理指出,所有定義在某個實數時間軸的濾波 上的停時,都能表示為某個狀態空間子集的擊中時。特別地,存在一個適應的不增隨機過程,其路徑幾乎總是左極限右連續,並且取值為0或1,使得子集
{
0
}
{\displaystyle \{0\}}
的擊中時就是對應的停時。
(英文) Rick Durrett. Probability: theory and examples ,4th edition. Cambridge University Press. 2000. ISBN 0521765390 .
Øksendal, Bernt K. Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications Sixth edition. Berlin: Springer. 2003. ISBN 3-540-04758-1 .