引言
從歷史上看,信息幾何可追溯到卡利安普迪·拉達克里希納·拉奧的工作,他首先將費希爾矩陣視為黎曼度量。[2][3]現代理論主要歸功於甘利俊一,他的工作對該領域產生了重大影響。[4]
經典的信息幾何將有參概率模型視作黎曼流形。對於這類模型,可自然選擇出黎曼度量,即費希爾信息度量。在概率模型為指數族時,有可能用黑塞度量(即凸函數的勢給出的黎曼度量)導出統計流形,這時流形會自然繼承兩個平面仿射聯絡,以及正規布雷格曼散度。歷史上,許多工作都致力於研究這些例子的相關幾何。在現代背景下,信息幾何適用於更廣泛的背景,包括非指數族、非參數統計,甚至是不從已知概率模型導出的抽象統計流形。這些結果結合了信息論、仿射微分幾何、凸分析等眾多領域的技術。
該領域的標準參考書是甘利俊一與長岡浩司的《信息幾何方法》[5]及Nihat Ay等人的最新著作。[6]Frank Nielsen在調查報告中做了較溫和的介紹。[7]2018年,《信息幾何學》期刊正式創立,專門討論該領域。
應用
作為一個跨學科領域,信息幾何已被廣泛應用於各種領域,主要應用於統計分析、控制理論、神經網絡、量子力學、信息論等領域。
下面是不完整的清單:
另見
- 魯平幾何
- 相對熵
- 隨機幾何
- 流形隨機分析
- 投影濾波器
參考文獻
外部連結
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