亥姆霍茲線圈

亥姆霍茲線圈（Helmholtz coil）是一種製造小範圍區域均勻磁場的器件。由於亥姆霍茲線圈具有開敞性質，很容易地可以將其它儀器置入或移出，也可以直接做視覺觀察，所以，是物理實驗常使用的器件。因德國物理學者赫爾曼·馮·亥姆霍茲而命名。

一座裝配了亥姆霍茲線圈的物理儀器。

亥姆霍茲線圈示意圖。

簡介

亥姆霍茲線圈是由一對完全相同的圓形導體線圈組成。採用直角坐標系，這兩個半徑為${\displaystyle R}$的圓形線圈的中心軸都與z-軸同軸。兩個圓形線圈的z-坐標分別為${\displaystyle h/2}$與${\displaystyle -h/2}$。每一個導體線圈載有同向電流${\displaystyle I}$。

設定${\displaystyle h=R}$可以使得在兩個線圈中心位置O（即原點）的磁場，其不均勻程度極小化。這動作促使${\displaystyle \partial ^{2}B/\partial z^{2}=0}$，也意味著領先的非零微分項目是${\displaystyle \partial ^{4}B/\partial z^{4}}$，稍後會對這論點做更詳細解釋。^[1]但是，這樣做仍舊會在線圈平面跟z-軸相交處與O點之間遺留大約7%磁場數值的差別。

在某些應用中，亥姆霍茲線圈可以用來抵消地磁場，製造出接近零磁場的區域。^[2]

數學描述

在亥姆霍茲線圈的二等分面的磁場線。注意到在兩個線圈之間的磁場近似均勻（在這電腦繪圖裏，線圈的中心軸是縱向的）。

沿著線圈中心軸（z-軸）的磁場。與兩個線圈同距離的中心位置的z-坐標為0。

等值線圖顯示出在亥姆霍茲線圈的磁場的數值大小。在中央的章魚區域內，磁場數值與中心位置的磁場數值${\displaystyle B_{0}}$相差不超過1%。五條等值線的磁場數值分別為${\displaystyle 0.5B_{0}}$、${\displaystyle 0.8B_{0}}$、${\displaystyle 0.9B_{0}}$、${\displaystyle 0.95B_{0}}$、${\displaystyle 0.99B_{0}}$。

關於在空間任意位置的精確磁場計算，需要應用到貝索函數或橢圓函數與其相關技巧。沿著線圈的中心軸（z-軸），涉及到的計算比較簡單，可以應用泰勒展開，將磁場展開為${\displaystyle z}$的冪級數。採用直角坐標系，以亥姆霍茲線圈的中心位置為z-軸的原點O。由於對於xy-平面的對稱性，奇數冪項目必等於零。經過調整兩個線圈之間的距離${\displaystyle h}$，可以使得O點成為拐點，則可以保證${\displaystyle z^{2}}$級項目為零，因此領先不均勻項目是${\displaystyle z^{4}}$級項目。

在中心位置O點，磁場為

${\displaystyle B={\left({\frac {4}{5}}\right)}^{3/2}{\frac {\mu _{0}nI}{R}}}$；

其中，${\displaystyle \mu _{0}}$是磁常數。

推導

採用直角坐標系，設定單匝線圈的中心軸為z-軸，線圈平面與z-軸相交處為原點，則在z-軸的磁場以方程式表示為^[3]（這方程式可以從必歐-沙伐定律推導出來）

${\displaystyle B={\frac {\mu _{0}IR^{2}}{2(R^{2}+z^{2})^{3/2}}}}$；

其中，${\displaystyle B}$是磁場數值大小，${\displaystyle \mu _{0}}$是磁常數，${\displaystyle I}$是電流，${\displaystyle R}$是線圈半徑，${\displaystyle z}$是檢驗位置的z-坐標。

對於${\displaystyle n}$匝線圈，磁場為

${\displaystyle B={\frac {\mu _{0}nIR^{2}}{2(R^{2}+z^{2})^{3/2}}}}$。

現在改變系統為亥姆霍茲線圈，其中心位置為原點。原點與線圈平面之間的垂直距離為${\displaystyle R/2}$，注意到每一個亥姆霍茲線圈有一對線圈，所以，總磁場為

${\displaystyle B={\frac {2\mu _{0}nIR^{2}}{2(R^{2}+(R/2)^{2})^{3/2}}}={\left({\frac {4}{5}}\right)}^{3/2}{\frac {\mu _{0}nI}{R}}}$。

進階推導

更詳細地計算，沿著z-軸的磁場為兩個線圈的貢獻的疊加：^[4]

${\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {\mu _{0}IR^{2}}{2}}\left\{\left[R^{2}+(z-h/2)^{2}\right]^{-3/2}+\left[R^{2}+(z+h/2)^{2}\right]^{-3/2}\right\}{\hat {\mathbf {z} }}}$。

在原點附近的磁場，經過一番運算，可以泰勒展開成${\displaystyle z}$的冪級數：

${\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {\mu _{0}IR^{2}}{d^{3}}}\left[1+{\frac {3(h^{2}-R^{2})z^{2}}{2d^{4}}}+{\frac {15(h^{4}-6h^{2}R^{2}+2R^{4})z^{4}}{16d^{8}}}+\dots \right]{\hat {\mathbf {z} }}}$；

其中，${\displaystyle d={\sqrt {R^{2}+h^{2}/4}}}$。

現在設定${\displaystyle h=R}$，則${\displaystyle z^{2}}$項目為零，在原點附近的磁場更加均勻：

${\displaystyle \mathbf {B} ={\left({\frac {4}{5}}\right)}^{3/2}{\frac {\mu _{0}I}{R}}\left[1-{\frac {144}{125}}\ \left({\frac {z}{R}}\right)^{4}+\dots \right]{\hat {\mathbf {z} }}}$。

磁場不均勻率與${\displaystyle z}$的關係式為

${\displaystyle {\frac {\Delta B_{z}}{B_{z}}}\approx -{\frac {144}{125}}\ \left({\frac {z}{R}}\right)^{4}}$。

在${\displaystyle z=\pm R/2}$，線圈平面與z-軸相交處，磁場數值的差別為

${\displaystyle {\frac {\Delta B_{z}}{B_{z}}}\approx -{\frac {144}{125}}\ \left({\frac {1}{2}}\right)^{4}\approx -7\%}$。

參閱

• 麥克斯韋線圈（Maxwell coils）
• 亥姆霍茲共鳴（英語：Helmholtz resonance）
• 螺線管
• 磁振造影

參考文獻

1. 亥姆霍茲線圈內部磁場分析. [2011-07-25]. （原始內容存檔於2012-03-24）.
2. 地磁場磁力儀：亥姆霍茲線圈" Archive.is的存檔，存檔日期2007-06-28 by Richard Wotiz 2004
3. 喬治亞州州立大學（Georgia State University）線上物理網頁：Field on Axis of Current Loop. [2011-07-25]. （原始內容存檔於2018-10-17）.
4. Jackson, John David, Classical Electrodynamic 3rd., USA: John Wiley & Sons, Inc.: pp. 226–227, 1999, ISBN 978-0-471-30932-1 引文格式1維護：冗餘文本 (link)

外部連結

• Helmholtz-Coil Fields （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） by Franz Kraft, The Wolfram Demonstrations Project.
• 加州大學洛杉磯分校的高中電漿實驗室網頁：單獨載流迴圈的磁場精確解 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）。