三十二元數
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在數學中,三十二元數(英語:Trigintaduonion)是指32個維度的代數系統[2]。較常見的定義是透過將十六元數套用凱萊-迪克森構造生成的32維代數系統[3]。這種代數系統不是可除代數,且不具備交換律和結合律。[1]
性質
以凱萊-迪克森構造生成的三十二元數本身包含了十六元數、八元數、四元數、複數和實數,也就是說實數包含於複數、複數包含於四元數、四元數包含於八元數、八元數包含於十六元數、十六元數包含於三十二元數。
其中為三十二元數。後面仍能持續推廣為六十四元數、一百二十八元數等。[1]
乘法表
高維超複數的乘法表可以透過低維超複數的乘法表推廣以產生,因此三十二元數的乘法表有一部份與十六元數、八元數的乘法表相同,其餘部分能透過推廣的方式計算得出,甚至六十四元數、一百二十八元數的乘法表也皆是已知的。[4]這些乘法表中的元素通常是單位,可稱為基元,基元的數量則決定了超複數的維度[5]:89
三十二元數的乘法表十分龐大,可以參見文獻中的附表[4][1]。具體執行三十二元數乘法的過程需要1024次實數乘法和992次實數加法。[6]
高維代數結構
三十二元數之上還有六十四元數、一百二十八元數等,其維數皆是二的次方。[4]
六十四元數
六十四元數共有1個實元素和63個虛元素單位。其乘法表的結構可以以這63個虛元素單位作為點,形成651個三元組。[7]如同八元數的法諾平面(英語:Fano plane)7個虛元素單位構成7條線,六十四元數的651個三元組都可以看做一條線,每條線通過3個頂點,每個點連接31條線,並同構於PG(5,2)。[8]:20
參見
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參考文獻
- Raoul E. Cawagas, et al. (2009)., "THE BASIC SUBALGEBRA STRUCTURE OF THE CAYLEY-DICKSON ALGEBRA OF DIMENSION 32 (TRIGINTADUONIONS)", [2022-04-25], (原始內容存檔於2022-04-24)
- Weng, Zihua. Compounding Fields and Their Quantum Equations in the Trigintaduonion Space. arXiv. 2007 [2022-05-28]. doi:10.48550/ARXIV.0704.0136. (原始內容存檔於2022-01-31).
- Kübra Gül. On k-Fibonacci and k-Lucas Trigintaduonions (PDF). International Journal of Contemporary Mathematical Sciences. 2018, 13 (1) [2022-05-28]. doi:10.12988/ijcms.2018.71134. (原始內容存檔 (PDF)於2022-06-16).
- Liu Shaoxue. Modern algebra foundation. Beijing: Higher Education Press. 2000.
- Aleksandr Cariow & Galina Cariowa. An algorithm for multipication of trigintaduonions. Journal of Theoretical and Applied Computer Science. 2014, 8 (1) [2022-05-28]. (原始內容存檔於2022-05-28).
- Saniga, Metod and Holweck, Frédéric and Pracna, Petr. From Cayley-Dickson algebras to combinatorial Grassmannians (PDF). Mathematics (Multidisciplinary Digital Publishing Institute). 2015, 3 (4): 1192–1221 [2022-05-28]. doi:10.3390/math3041192. (原始內容存檔 (PDF)於2022-06-16).
- Saniga, Metod and Holweck, Frédéric and Pracna, Petr. Cayley-Dickson algebras and finite geometry (PDF). arXiv preprint arXiv:1405.6888. 2014 [2022-04-28]. doi:10.48550/arXiv.1405.6888. (原始內容 (PDF)存檔於2022-04-28).