调和映射

如果f在整个Rn都有定义的调和函数，并且在其上有最大值或最小值，那么函数f是常数函数（参见复平面上函数的刘维尔定理）。 调和函数研究的一个推广是黎曼流形上的调和形的研究，后者与上同调的研究有关。此外，可以定义调和的向量值函数，或者两个黎曼流形间的调和映射。这些调和映射出现在最小表面理论中。比如说，一个从R上区间

數學上，在黎曼流形M和N之間的一個（光滑）映射，稱為調和映射，如果這個映射是狄利克雷能量泛函 E ( φ ) = ∫ M ‖ d φ ‖ 2 d Vol . {\displaystyle E(\varphi )=\int _{M}\|d\varphi \|^{2}\,d\operatorname {Vol}

在微分几何中，博赫纳恒等式是关于黎曼流形之间调和映射的恒等式。 它以美国数学家所罗门·博赫纳的名字命名。 设 M 和 N 为黎曼流形，并令 u : M → N 为一个调和映射。 设du 表示的u的（向前）导数，∇为梯度，Δ为拉普拉斯–贝尔特拉米算子，RiemN 为N上的 黎曼曲率张量，RicM 为M上的里奇曲率张量，则有

在數學中，黎曼映射定理是複分析最深刻的定理之一，此定理分類了 C {\displaystyle \mathbb {C} } 的單連通開子集。 設 D := { z ∈ C : | z | < 1 } {\displaystyle D:=\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\}} 為開圓盤，

我們能用共形变换將一个区域的調和函数拉回成另一区域里的调和函數。最常见的例子是单位圆盘与上半平面的共形等价性。 利用共形对称性，可以将调和函数的定义推广到共形平坦（即：在一个光滑共形同胚映射下同胚于平坦空间）的黎曼流形。最简单的例子也许是將 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 上的调和函数（允许帶有孤立奇点）視作