柯西刚性定理

柯西刚性定理（Cauchy's theorem）是几何学的定理，得名自数学家奥古斯丁-路易·柯西。柯西刚性定理提到二个三维的凸多面体若有其对应面都全等，则两者多胞形本身也会全等。若将凸多面体展开，使各面都在同一个平面上，再加上多面体的哪些面会相连的说明，这可以确定多面体的形状，而且符合的多面体只会有一个。例如，立方体的展开图会是六个正方形，若有一个凸多面体，展开后也是六个正方形，且各面连接方式和立方体展开图相同，则该多面体一定是立方体。不可能有其他不是立方体，但展开图和立方体相同的凸多面体。

柯西刚性定理是结构刚性（英语：Structural rigidity）理论的基础。若有人用刚性材质组成凸多胞形的面，使各面不会变形，面和面之间有铰链相连，所组成的多面体会是刚性结构。

叙述

正二十面体，本身也是凸多面体

令P和Q是组合等价的三维凸多面体，也就是说这二个是同构face lattic的凸多面体，再者，P和Q每一对对应的面都互相全等（在进行刚体的平移或旋转运动后就相同），则凸多面体P和Q也是全等的。

上述要求的凸多面体是必要的。考虑一个正二十面体，可以将一个顶点往内压，形成一个非凸的多面体，和原多面体仍然是组合等价，但二者是不同的。

历史

此结果源自欧几里得的《几何原本》，其中提到二个多面体若每一对应面都相等，则二个多面体相同。此一版本的定理是由柯西以约瑟夫·拉格朗日之前的研究为基础，在1813年证明的。在他证明中用到的主要引理里有一个错误，后来是由恩斯特·施泰尼茨（英语：Ernst Steinitz）、Isaac Jacob Schoenberg（英语：Isaac Jacob Schoenberg）及亚历山大·亚历山德罗夫（英语：Aleksandr Danilovich Aleksandrov）所修正的。更正后的柯西证明又短又优雅，可以列在数学天书中的证明（英语：Proofs from THE BOOK）中^[1]。

相关条目

• 舒恩哈特八面体：不是凸多面体，组合上等价于正八面体，

参考资料

1. Aigner, Martin; Ziegler, Günter M. Proofs from THE BOOK. Springer. 2014: 91–93. ISBN 9783540404606.

• A. L. Cauchy, "Recherche sur les polyèdres – premier mémoire", Journal de l'École Polytechnique 9 (1813), 66–86.
• Max Dehn, "Über die Starrheit konvexer Polyeder" （页面存档备份，存于互联网档案馆） (in German), Math. Ann. 77 (1916), 466–473.
• Aleksandr Danilovich Aleksandrov, Convex polyhedra, GTI, Moscow, 1950. English translation: Springer, Berlin, 2005.
• James J. Stoker, "Geometrical problems concerning polyhedra in the large", Comm. Pure Appl. Math. 21 (1968), 119–168.
• Robert Connelly, "Rigidity", in Handbook of Convex Geometry, vol. A, 223–271, North-Holland, Amsterdam, 1993.