在电磁学里,为了要应用宏观马克士威方程组,必须分别找到
场与
场之间,和
场与
场之间的关系。这些称为本构关系的物理性质,设定了束缚电荷和束缚电流对于外场的响应。它们实际地对应于,一个物质响应外场作用而产生的电极化或磁化。[1]:44-45
本构关系式的基础建立于
场与
场的定义式:
、
;
其中,
是电极化强度,
是磁化强度。
本构关系式的一般形式为
、
。
在解释怎样计算电极化强度与磁化强度之前,最好先检视一些特别案例。
假设,在自由空间(即理想真空)里,就不用考虑介电质和磁化物质,本构关系式变得很简单:[2]:2
、
。
将这些本构关系式代入宏观马克士威方程组,则得到的方程组很像微观马克士威方程组,当然,在得到的高斯定律方程式和马克士威-安培方程式内,总电荷密度和总电流密度分别被自由电荷密度和自由电流密度替代。这符合期待的结果,因为,在自由空间里,没有束缚电荷、束缚电流和极化电流。
对于线性、各向同性物质,本构关系式也很直接:
、
;
其中,
是物质的电容率,
是物质的磁导率。
将这些本构关系式代入宏观马克士威方程组,可以得到方程组
除非这物质是均匀物质,不能从微分式或积分式内提出电容率和磁导率。通量
的方程式为
。
这方程组很像微观马克士威方程组,当然,在得到的高斯定律方程式和马克士威-安培方程式内,自由空间的电容率和磁导率分别被物质的电容率和磁导率替代;还有,总电荷密度和总电流密度分别被自由电荷密度和自由电流密度替代。这符合期待的结果,因为,在均匀物质内部,没有束缚电荷、束缚电流和极化电流,虽然由于不连续性,可能在表面会有面束缚电荷、面束缚电流或面极化电流。
对于实际物质,本构关系并不是简单的线性关系,而是只能近似为简单的线性关系。从
场与
场的定义式开始,要找到本构关系式,必需先知道电极化强度和磁化强度是怎样从电场和磁场产生的。这可能是由实验得到(建立于直接测量),或由推论得到(建立于统计力学、传输力学(transport phenomena)或其它凝聚态物理学的理论)。所涉及的细节可能是宏观或微观的。这都要视问题的层级而定。
虽然如此,本构关系式通常仍旧可以写为
、
。
不同的是,
和
不再是简单常数,而是函数。例如,
- 色散或吸收:
和
是频率的函数。因果论不允许物质具有非色散性,例如,克拉莫-克若尼关系式。场与场之间的相位可能不同相,这导致
和
为复值,也导致电磁波被物质吸收。[2]:330-335
- 非线性:
和
都是电场与磁场的函数。例如,克尔效应[3]和波克斯效应(Pockels effect)。
- 各向异性:例如,双折射或二向色性(dichroism)。
和
都是二阶张量[4]:
、
。
- 双耦合各向同性(Bi-isotropy)或双耦合各向异性(Bi-anisotropy):在双耦合各向同性物质里,
场与
场分别各向同性地耦合于
场与
场[4]:
、
;
- 其中,
与
是耦合常数,每一种介质的内禀常数。
- 在双耦合各向异性物质里,
场与
场分别各向异性地耦合于
场与
场,系数
、
、
、
都是张量。
- 在不同位置和时间,
场与
场分别跟
场、
场有关:这可能是因为“空间不匀性”。例如,一个磁铁的域结构、异质结构或液晶,或最常出现的状况是多种材料占有不同空间区域。这也可能是因为随时间而改变的物质或磁滞现象。对于这种状况,
场与
场计算为[5][2]:14
、
;
- 其中,
是电极化率,
是磁化率。
实际而言,在某些特别状况,一些物质性质给出的影响微乎其微,这允许物理学者的忽略。例如,在低场强度状况,光学非线性性质可以被忽略;当频率局限于狭窄频宽内时,色散不重要;对于能够穿透物质的波长,物质吸收可以被忽略;对于微波或更长波长的电磁波,有限电导率的金属时常近似为具有无穷大电导率的完美金属(perfect metal),形成电磁场穿透的趋肤深度为零的硬障碍。
随著材料科学的进步,材料专家可以设计出具有特定的电容率或磁导率的新材料,像光子晶体。
通常而言,感受到局域场施加的劳仑兹力,介质的分子会有所响应,从相关的理论计算,可以得到这介质的本构关系式。除了劳仑兹力以外,可能还需要给出其它作用力的理论模型,像涉及晶体内部晶格振动的键作用力,将这些作用力纳入考量,一并计算。
在介质内部任意分子的位置
,其邻近分子会被电极化和磁化,从而造成其局域场会与外场或宏观场不同。更详尽细节,请参阅克劳修斯-莫索提方程式。真实介质不是连续性物质,其局域场在原子尺度的变化相当剧烈,必需经过空间平均,才能形成连续近似。
这连续近似问题时常需要某种量子力学分析,像应用于凝聚态物理学的量子场论。请参阅密度泛函理论和格林-库波关系式(Green–Kubo relations)等等案例。物理学者研究出许多近似传输方程式,例如,波兹曼传输方程式(Boltzmann transport equation)、佛克耳-普朗克方程式(Fokker–Planck equation)和纳维-斯托克斯方程式。这些方程式已经广泛地应用于流体动力学、磁流体力学、超导现象、等离子模型(plasma modeling)等等学术领域。一整套处理这些艰难问题的物理工具已被成功地发展出来。另外,从处理像砾岩(conglomerate)或叠层材料(laminate)一类物质的传统方法演变出来的“均质化方法”,是建立于以“均质有效介质”来近似“非均质介质”的方法[6]。当激发波长超大于非均质性的尺度时,这方法正确无误[7][8][9]。
理论得到的答案必须符合实验测量的数据。许多真实物质的连续近似性质,是靠著实验测量而得到的[10]。例如,应用椭圆偏振技术得到的薄膜的介电性质。
Jackson, John David, Classical Electrodynamic 3rd., USA: John Wiley & Sons, Inc., 1999, ISBN 978-0-471-30932-1
通常,物质都具有双耦合各向异性。TG Mackay and A Lakhtakia. Electromagnetic Anisotropy and Bianisotropy: A Field Guide. World Scientific. 2010: pp. 7–11.
Halevi, Peter, Spatial dispersion in solids and plasmas, Amsterdam: North-Holland, 1992, ISBN 978-0444874054
Aspnes, David E., "Local-field effects and effective-medium theory: A microscopic perspective," Am. J. Phys. 50, p. 704-709 (1982).
N. Bakhvalov and G. Panasenko, Homogenization: Averaging Processes
in Periodic Media (Kluwer: Dordrecht, 1989); V. V. Jikov, S. M. Kozlov and O. A. Oleinik, Homogenization of Differential Operators and Integral Functionals (Springer: Berlin, 1994).
Edward D. Palik & Ghosh G, Handbook of Optical Constants of Solids, London UK: Academic Press: pp. 1114, 1998, ISBN 0125444222