拉普拉斯逆变换

在数学中，函数${\displaystyle F(s)}$的拉普拉斯逆变换是一个分段连续的实函数${\displaystyle f(t)}$，满足如下性质：

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}(s)={\mathcal {L}}\{f(t)\}(s)=F(s),}$

其中，${\displaystyle {\mathcal {L}}}$表示拉普拉斯变换。

可以证明：如果函数${\displaystyle F(s)}$具有拉普拉斯逆变换${\displaystyle f(t)}$，则${\displaystyle f(t)}$唯一（考虑在勒贝格测度为零的点集上彼此不同的函数）。这个定理由马提亚·莱奇于1903年首先证明，因而称之为莱奇定理。^[1][2]

因其具有的许多性质，正反拉普拉斯变换在线性动态系统的分析中颇有可为。

梅林反演公式

拉普拉斯逆变换的积分形式，称为梅林反演公式（英语：Mellin's inverse formula）、布罗米奇积分或傅里叶-梅林积分，由线积分定义：

${\displaystyle f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}(t)={\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{\gamma -iT}^{\gamma +iT}e^{st}F(s)\,ds}$

积分路径是复平面中的垂线${\displaystyle Re(s)=\gamma }$，其中${\displaystyle \gamma }$大于${\displaystyle F(s)}$所有奇点的实部，且${\displaystyle F(s)}$在积分路径上有界（例如积分路径位于${\displaystyle F(s)}$收敛域内）。当所有奇点位于左半平面内，或${\displaystyle F(s)}$是整函数时，可以将${\displaystyle \gamma }$置零，此时上述积分退化为傅立叶逆变换。

在实践中，复积分的计算可以通过柯西留数定理完成。

珀斯特反演公式

拉普拉斯逆变换的微分形式，称为珀斯特反演公式（英语：Post's inversion formula），以数学家埃米尔·珀斯特 (Emil Post)命名， ^[3]是一个看似简便但并不常用的拉普拉斯逆变换计算公式。

公式表述如下：设${\displaystyle f(t)}$为区间[0, +∞) 的指数阶函数，存在实数b ，使${\displaystyle f(t)}$满足：

${\displaystyle \sup _{t>0}{\frac {f(t)}{e^{bt}}}<\infty }$

则对于任意${\displaystyle s>b}$，${\displaystyle f(t)}$的拉普拉斯变换均存在且对于s无限可微。设${\displaystyle F(s)}$是${\displaystyle f(t)}$的拉普拉斯变换，则${\displaystyle f(t)}$可由下式定义：

${\displaystyle f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F\}(t)=\lim _{k\to \infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}\left({\frac {k}{t}}\right)^{k+1}F^{(k)}\left({\frac {k}{t}}\right)}$

其中${\displaystyle t>0}$，${\displaystyle F^{(x)}}$是${\displaystyle F}$对${\displaystyle s}$的k阶导数。

分析公式可以看出，该方法需要计算函数${\displaystyle F(s)}$的任意高阶导数，这在大多数应用场景下并不现实。

随着个人计算机的出现，该公式主要用于处理拉普拉斯逆变换的近似或渐近分析，及通过格伦瓦尔德-莱特尼科夫（Grünwald-Letnikov）微积分计算导数。

随着计算科学的进步，珀斯特反演公式引起了人们兴趣，由于其不需要${\displaystyle F(s)}$的具体极点坐标，通过数次逆梅林变换，可能实现对黎曼猜想的渐近分析。

软件工具

• InverseLaplaceTransform （页面存档备份，存于互联网档案馆）：在Mathematica中求拉普拉斯逆变换的解析解
• 使用 Mathematica 中的复数域对拉普拉斯变换进行多精度数值反演 （页面存档备份，存于互联网档案馆）^[4]
• ilaplace （页面存档备份，存于互联网档案馆）：在MATLAB中求拉普拉斯逆变换的解析解
• Matlab 中拉普拉斯变换的数值反演
• Matlab中基于集中矩阵指数函数的拉普拉斯变换数值反演 （页面存档备份，存于互联网档案馆）

相关条目

• 傅里叶变换
• 泊松求和公式

参考链接

1. Cohen, A. M. Numerical Methods for Laplace Transform Inversion. Numerical Methods and Algorithms 5. 2007: 23–44. ISBN 978-0-387-28261-9. doi:10.1007/978-0-387-68855-8_2.
2. Lerch, M. Sur un point de la théorie des fonctions génératrices d'Abel. Acta Mathematica. 1903, 27: 339–351. doi:10.1007/BF02421315 .
3. Post, Emil L. Generalized differentiation. Transactions of the American Mathematical Society. 1930, 32 (4): 723–781. ISSN 0002-9947. doi:10.1090/S0002-9947-1930-1501560-X .
4. Abate, J.; Valkó, P. P. Multi-precision Laplace transform inversion. International Journal for Numerical Methods in Engineering. 2004, 60 (5): 979. Bibcode:2004IJNME..60..979A. S2CID 119889438. doi:10.1002/nme.995.

相关书目

• Davies, B. J., Integral transforms and their applications 3rd, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2002, ISBN 978-0-387-95314-4
• Manzhirov, A. V.; Polyanin, Andrei D., Handbook of integral equations, London: CRC Press, 1998, ISBN 978-0-8493-2876-3
• Boas, Mary, Mathematical Methods in the physical sciences, John Wiley & Sons: 662, 1983, ISBN 0-471-04409-1 含有内容需登入查看的页面 (link) (p. 662 or search Index for "Bromwich Integral", a nice explanation showing the connection to the Fourier transform)
• Widder, D. V., The Laplace Transform, Princeton University Press, 1946
• Elementary inversion of the Laplace transform （页面存档备份，存于互联网档案馆）. Bryan, Kurt. Accessed June 14, 2006.

外部链接

• EqWorld 的积分变换表 （页面存档备份，存于互联网档案馆）

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