应力-能量张量

应力-能量张量，也称应力-能量-动量张量、能量-应力张量、能量-动量张量、简称能动张量，在物理学中是一个张量，描述能量与动量在时空中的密度与通量(flux)，其为牛顿物理中应力张量的推广。在广义相对论中，应力-能量张量为重力场的源，一如牛顿重力理论中质量是重力场源一般。应力-能量张量具有重要的应用，尤其是在爱因斯坦场方程式。

定义

请注意我们将全程使用到爱因斯坦取和原则。当用到座标表示，x⁰代表时间，其他座标项x¹, x²及x³则为剩下的空间分量。

应力-能量张量为一个二阶张量${\displaystyle T^{ab}}$，给出四维动量或4-动量之a分量通过一座标为常数x^b之表面的通量。 另外要注意的是应力-能量张量是对称(当自旋张量为零时)，亦即

${\displaystyle T^{ab}=T^{ba}\,}$

若自旋张量S非零，则

${\displaystyle \partial _{\alpha }S^{\mu \nu \alpha }=T^{\mu \nu }-T^{\nu \mu }}$

例子

此处举出一些特例：

${\displaystyle T^{00}}$

代表能量密度。

${\displaystyle T^{0i}}$

代表能量通过xⁱ表面之通量，等同于

${\displaystyle T^{i0},}$

第i 动量之密度。

分量

${\displaystyle T^{ij}}$

代表i 动量通过x^j表面之通量。其中较特别的是：

${\displaystyle T^{ii}}$

代表一个类似压力与张应力的物理量——正向应力(normal stress)，而

${\displaystyle T^{ij},\quad i\neq j}$

代表剪应力(shear stress)。

提醒：在固态物理与流体力学中，应力张量所指为应力-能量张量于共动参考系(comoving frame of reference)的空间分量。换句话说，工程学中的应力-能量张量与此处由动量对流项(momentum convective term)表示的应力-能量张量有所差异。

作为诺特流(Noether current)

应力-能量张量满足连续性方程式(continuity equation)

${\displaystyle \nabla _{b}T^{ab}=T^{ab}{}_{;b}=0}$.

此一物理量

${\displaystyle \int d^{3}xT^{a0}}$

是对一类空切面积分，得出能量-动量向量。分量${\displaystyle T^{a0}}$因此可以诠释为（非重力的）能量与动量之局域密度，而连续性方程式的第一分量

${\displaystyle \nabla _{b}T^{0b}=\nabla \cdot \mathbf {p} -{\frac {\partial E}{\partial t}}=0}$

则单纯是能量守恒的表述。空间分量${\displaystyle T^{ij}}$ (i, j = 1, 2, 3)则对应到局域非重力的应力分量，其中包括了压力。此一张量为与时空移动相应的守恒诺特流(Noether current)。

于广义相对论中

上面所给的关系并不唯一决定此张量。在广义相对论中，对称形式的张量，也就是额外满足

${\displaystyle T^{ab}=T^{ba}}$

的关系的张量成为时空曲率的源，并且是与规范变换(gauge transformation)相应的流密度(current density)，在此是以座标变换为例。若有扭率(torsion)，则此张量就不再是对称的。这对应到非零自旋张量的例子。参见爱因斯坦-嘉当重力。

在广义相对论中，平直时空所用的偏导数(偏微分，partial derivative)修改为协变导数(covariant derivative)。这表示连续性方程式中用张量表示的能量和动量不是绝对地守恒。在牛顿重力的古典极限，这一点有一个简单的解释：与引力位能互相交换的能量，它没有包含在能动张量中，而动量是通过场传递到其他物体。然而在广义相对论中，无法定义对应“重力场”能量密度与动量密度的物理量；任何意图要定义这些密度的膺张量(pseudo-tensor)均可以透过一个座标转换使它们局域地消失为零。一般情况下，对于应力─能量张量只是部分的"协变守恒"，我们必须感到心满意足。

在弯曲时空中，一般而言类空积分依赖于类空截面。事实上在一般的弯曲时空中是无法定义一个全局的能量─动量张量（原文误为'vector'）。

爱因斯坦场方程式

主条目：爱因斯坦场方程式

在广义相对论中，应力-能量张量主要出现在爱因斯坦场方程式的研究题材中，方程式常写为：

${\displaystyle R_{\alpha \beta }-{1 \over 2}R\,g_{\alpha \beta }={8\pi G \over c^{4}}T_{\alpha \beta },}$

其中${\displaystyle R_{\alpha \beta }}$为里奇张量, ${\displaystyle R}$为里奇纯量（对里奇张量做张量缩并(tensor contraction)而得），以及${\displaystyle G}$为宇宙重力常数(universal gravitational constant).

特殊情况下的应力-能量张量

孤立粒子

在狭义相对论中，质量为m的无相互作用粒子的应力-能量张量为：

${\displaystyle T^{\alpha \beta }[t,x,y,z]={\frac {m\,v^{\alpha }[t]v^{\beta }[t]}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}\delta (x-x[t])\delta (y-y[t])\delta (z-z[t])}$

其中δ是狄拉克δ函数，${\displaystyle v^{\alpha }\!}$是速度矢量：

${\displaystyle {\begin{pmatrix}v^{0}[t]\\v^{1}[t]\\v^{2}[t]\\v^{3}[t]\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\{dx[t] \over dt}\\{dy[t] \over dt}\\{dz[t] \over dt}\end{pmatrix}}.}$

处于平衡状态下的流体的应力-能量张量

对于处于热平衡状态下的流体，应力-能量张量具有一个特别简单的形式：

${\displaystyle T^{\alpha \beta }\,=(\rho +{p \over c^{2}})u^{\alpha }u^{\beta }+pg^{\alpha \beta }}$

其中${\displaystyle \rho }$是质量-能量密度（牛顿每立方米），${\displaystyle p}$是流体静压力（牛顿每平方米），${\displaystyle u^{\alpha }}$是流体的四维速度，${\displaystyle g^{\alpha \beta }}$是度量张量的逆。

四维速度满足：

${\displaystyle u^{\alpha }u^{\beta }g_{\alpha \beta }=-c^{2}\,.}$

在随流体一起移动的惯性参考系中，四维速度为：

${\displaystyle u^{\alpha }=(1,0,0,0)\,,}$

度量张量的倒数为：

${\displaystyle g^{\alpha \beta }\,=\left({\begin{matrix}-c^{-2}&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right)\,,}$

应力-能量张量是一个对角矩阵：

${\displaystyle T^{\alpha \beta }=\left({\begin{matrix}\rho &0&0&0\\0&p&0&0\\0&0&p&0\\0&0&0&p\end{matrix}}\right).}$

电磁应力-能量张量

主条目：电磁应力-能量张量

一个无源电磁场的应力-能量张量为：

${\displaystyle T^{\mu \nu }(x)={\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F^{\mu \alpha }g_{\alpha \beta }F^{\nu \beta }-{\frac {1}{4}}g^{\mu \nu }F_{\delta \gamma }F^{\delta \gamma }\right)}$

其中${\displaystyle F_{\mu \nu }}$是电磁张量。

标量场

主条目：克莱因-戈尔登方程

满足克莱因-戈尔登方程的标量场${\displaystyle \phi }$的应力-能量张量为：

${\displaystyle T^{\mu \nu }={\frac {\hbar ^{2}}{m}}(g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }+g^{\mu \beta }g^{\nu \alpha }-g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta })\partial _{\alpha }{\bar {\phi }}\partial _{\beta }\phi -g^{\mu \nu }mc^{2}{\bar {\phi }}\phi .}$

各式各样的应力-能量张量

存在有一些互不相等的应力-能量张量。

正则(Canonical)应力-能量张量

其为与时空平移相关的诺特流。

希尔伯特应力-能量张量

应力-能量张量在广义相对论中仅能以动态度规来定义。其定义成一个泛函导数(functional derivative)

${\displaystyle T^{\mu \nu }(x)={\frac {2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\mathcal {S}}_{\mathrm {matter} }}{\delta g_{\mu \nu }(x)}}}$

其中S_matter是作用量的非重力部份，为对称的且有规范不变性。

Belinfante-Rosenfeld应力-能量张量

赝张量(Pseudotensors)

赝张量的例子有爱因斯坦赝张量与蓝道-里夫须兹赝张量(Landau-Lifschitz pseudotensor)。

相关条目

• 能量条件
• 坡印廷向量Poynting vector
• 电磁场能量密度
• 电磁应力-能量张量
• Segre classification（英语：Segre classification）

外部链接

• Lecture, Stephan Waner
• Caltech Tutorial on Relativity — A simple discussion of the relation between the Stress-Energy tensor of General Relativity and the metric