几何数论

在数论中，几何数论（英语：Geometry of numbers）研究凸体和在n维空间整数点向量问题。几何数论于1910由赫尔曼·闵可夫斯基创立。几何数论和数学其它领域有密切的关系，尤其研究在泛函分析和丢番图逼近中，对有理数向无理数逼近问题。^[1]

闵可夫斯基的结果

闵可夫斯基定理，有时也被称为闵可夫斯基第一定理：

假设Γ是在n维欧氏空间Rⁿ的格和K是中心对称凸体，

vol(K)>2^{n}vol(R^{n}/\Gamma )

，则K包含Γ非零的向量。

闵可夫斯基第二定理，是他的第一定理加强。定义K数字λ最大下界，为 λ_k，称为连续最低。

则λK在Γ中ķ线性无关，则有：

\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}vol(K)\leq 2^{n}vol(R^{n}/\Gamma ).

近现代几何数论研究

在1930年至1960年的很多数论学家取得了很多成果（包括路易·莫德尔，哈罗德·达文波特和卡尔·路德维希·西格尔）。近年来，Lenstra，奥比昂，巴尔维诺克对组合理论的扩展对一些凸体的格数量进行了列举。

施密特子空间定理
在几何数论的子空间定理，由沃尔夫冈·施密特在1972年证明
设n是正整数，如果n个n维线性型L₁,...,L_n都具有代数系数，并且是线性无关的，那么对于任何给定的实数ε> 0，所有满足条件: $|L_{1}(x)\cdots L_{n}(x)|<|x|^{-\epsilon }$ 的n维非零整数点x都在有限多个Qⁿ的真子空间内。

对泛函分析的影响

始于闵可夫斯基的几何数论在泛函分析上产生深远的影响。闵可夫斯基证明，对称凸体诱导有限维向量空间的范数。闵可夫斯基定理由柯尔莫哥洛夫推广到拓扑向量空间。柯尔莫哥洛夫的定理证明有界闭对称凸集生成Banach空间的拓扑。当前Kalton et alia. Gardner对星形集和非凸集取得了一些成果。

参考文献

[1]
Schmidt's books. Grötschel et alia, Lovász et alia, Lovász.

延伸阅读

Matthias Beck, Sinai Robins. Computing the continuous discretely: Integer-point enumeration in polyhedra, Undergraduate texts in mathematics, Springer, 2007.
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Edmund Hlawka, Johannes Schoißengeier, Rudolf Taschner. Geometric and Analytic Number Theory. Universitext. Springer-Verlag, 1991.
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L. Lovász: An Algorithmic Theory of Numbers, Graphs, and Convexity, CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics 50, SIAM, Philadelphia, Pennsylvania, 1986
Malyshev, A.V., Geometry of numbers, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
Minkowski, Hermann, Geometrie der Zahlen, Leipzig and Berlin: R. G. Teubner, 1910, MR 0249269
Wolfgang M. Schmidt. Diophantine approximation. Lecture Notes in Mathematics 785. Springer. (1980 [1996 with minor corrections])
Wolfgang M. Schmidt.Diophantine approximations and Diophantine equations, Lecture Notes in Mathematics, Springer Verlag 2000.
Siegel, Carl Ludwig. Lectures on the Geometry of Numbers. Springer-Verlag. 1989.
Rolf Schneider, Convex bodies: the Brunn-Minkowski theory, Cambridge University Press, Cambridge, 1993.
Anthony C. Thompson, Minkowski geometry, Cambridge University Press, Cambridge, 1996.

[1] [1]
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[1]