伪球面

伪球面（英语：pseudosphere，又译拟球面）是几何学中高斯曲率恒为负的平面。一半径${\displaystyle R}$的伪球面，是${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$中每点高斯曲率均为${\displaystyle \textstyle -1/R^{2}}$的平面。伪球面这个名称是类比半径${\displaystyle R}$的球面（曲率${\displaystyle \textstyle 1/R^{2}}$的平面），由贝尔特拉米于1868年双曲几何模型的论文提出。^[1][2][3] 其为曳物线绕其渐近线的旋转曲面。

旋转跟踪曲面（Tractricoid）

定义

对于${\displaystyle xOz}$平面上的曳物线，其参数方程为${\displaystyle (x,z)=(t-\tanh(t),\mathrm {sech} (t)),0\leq t<\infty }$.

当其绕z轴旋转一圈时，根据旋转曲面的一般参数方程^[4]，可得到曲面标准参数方程：

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x=(t-\tanh(t))\cdot \cos(\theta ),\\y=(t-\tanh(t))\cdot \sin(\theta ),\\z=\mathrm {sech} (t).\end{matrix}}\right.}$ 其中 ${\displaystyle 0\leq \theta \leq 2\pi ,0\leq t<\infty }$.

该方程即为曳物面方程，又称伪球面方程。

性质

伪球面是一个奇异空间 (赤道上的点为奇点) 。但在奇点外，它具有恒定的负高斯曲率，因此局部等距于双曲面。

“伪球”这个名字的产生是因为它是一个有恒定负高斯曲率的二维曲面，和一个球有恒定正高斯曲率恰恰相反。就像球体在每一点上都有一个正曲率的球面几何一样，伪球在除奇点每一点上都有一个负曲率的双曲几何。

早在1693年，惠更斯(Christiaan Huygens)就发现尽管其旋转后的范围是无限的, 但伪球的体积和表面积是有限的。对于给定的伪半径 R，伪球的表面积是${\displaystyle 4\pi R^{2}}$，和同半径·球面相同。

参考资料

1. Beltrami, Eugenio. Saggio sulla interpretazione della geometria non euclidea [Treatise on the interpretation of non-Euclidean geometry]. Gior. Mat. 1868, 6: 248–312 （意大利语）.
2. Beltrami, Eugenio. Opere Matematiche [Mathematical Works] 1. : 374–405. ISBN 1-4181-8434-9 （意大利语）.
3. Beltrami, Eugenio. Essai d'interprétation de la géométrie noneuclidéenne [Treatise on the interpretation of non-Euclidean geometry]. Annales de l'École Normale Supérieure. 1869, 6: 251–288 [2018-08-08]. （原始内容存档于2016-02-02） （法语）.
4. 梅, 向明. 微分几何 第四版. 高等教育出版社. 2008. ISBN 9787040235722.