local volatility

（原始内容存档 (PDF)于2021-10-20）.  Lin Chen. Stochastic Mean and Stochastic Volatility — A Three-Factor Model of the Term Structure of Interest Rates and Its

μ {\displaystyle \mu } ('百分比drift') 和 σ {\displaystyle \sigma } ('百分比volatility')则是常量。 给定初始值 S0，根据伊藤积分，上面的随机微分方程有如下解: S t = S 0 exp ⁡ ( ( μ − σ 2 2 )

雖然在很多情况下被使用者进行一定的改動和修正。很多经验测试表明这个公式足够贴近市场价格，然而也有会出现差异的时候，如著名的「波動率的微笑（英语：Volatility smile）」。然而它假設價格的變動，會符合常態分配（即俗稱的鐘形曲線），但在金融市場上經常出現符合统计学厚尾現象的事件，這影響此公式的有效性。

翰·霍普菲尔德在1982年发明。Hopfield网络是一种结合存储系统和二元系统的神经网络。它保证了向局部极小的收敛，但收敛到错误的局部极小值（local minimum），而非全局极小（global minimum）的情况也可能发生。霍普菲尔德网络也提供了模拟人类记忆的模型。

Mercurio, Fabio. Lognormal-mixture dynamics and calibration to market volatility smiles. International Journal of Theoretical and Applied Finance. 2002