HOMFLY多项式

在纽结理论中，HOMFLY多项式或HOMFLY-PT多项式是一种双变元的纽结多项式；透过变元代换，它可以涵括琼斯多项式与亚历山大多项式在三维的情形。

“HOMFLY”一名得自该多项式的发现者：Hoste、Ocneanu、Millett、Freyd、Lickorish、Yetter；“PT”二字旨在纪念另两位独立发现此结不变量的数学家 Przytycki 与 Traczyk。

拆接关系

HOMFLY多项式 ${\displaystyle P_{K}(\ell ,m)=P(K)}$ 由下述拆接关系唯一地定义：

${\displaystyle P(\mathrm {unknot} )=1,\,}$

${\displaystyle \ell P(L_{+})+\ell ^{-1}P(L_{-})+mP(L_{0})=0,\,}$

其中unknot是平凡纽结； ${\displaystyle L_{+},L_{-},L_{0}}$ 代表结图表在某个交点附近的性状，如次图所示：

上述关系可用以递回计算任一纽结之HOMFLY多项式，亦可导出

${\displaystyle P(L_{1}\sqcup L_{2})={\frac {-(l+l^{-1})}{m}}P(L_{1})*P(L_{2})}$

其它拆接关系

透过适当的变元代换，上节的拆接关系可换为

${\displaystyle \alpha P(L_{+})-\alpha ^{-1}P(L_{-})=zP(L_{0})}$

或者

${\displaystyle xP(L_{+})+yP(L_{-})+zP(L_{0})=0}$

主要性质

与琼斯多项式的关系：

${\displaystyle V(t)=P(\alpha =t,z=t^{1/2}-t^{-1/2})}$

与亚历山大多项式的关系：

${\displaystyle \Delta (t)=P(\alpha =1,z=t^{1/2}-t^{-1/2})}$

对镜像与连通和的关系：

${\displaystyle P(L_{1}\#L_{2})=P(L_{1})P(L_{2}),\,}$

${\displaystyle P_{K}(\ell ,m)=P_{\mathrm {MirrorImage(K)} }(\ell ^{-1},m)}$

陈-西蒙斯理论

SU(N)规范群的三维陈-西蒙斯理论给予HOMFLY多项式。^[1]

参考文献

1. Witten, Edward. Quantum field theory and the Jones polynomial. Communications in Mathematical Physics. 1989-09, 121 (3): 351–399. ISSN 0010-3616. doi:10.1007/BF01217730 （英语）.

相关文献

• Peter Cromwell (2004), Knots and Links, Cambridge University Press. ISBN 0-521-54831-4