反馀割

反馀割（英语：arccosecant、记为：${\displaystyle \operatorname {arccsc} }$或${\displaystyle \csc ^{-1}}$）是一种反三角函数^[3]，对应的三角函数为馀割函数，用来计算已知斜边与对边的比值求出其夹角大小的函数，是高等数学中的一种基本特殊函数，其输入值与反正弦互为倒数。

反馀割
性质
奇偶性	奇函数
定义域	${\displaystyle \left\{x\in \mathbb {R} :\left|x\right|\geq 1\right\}}$[1]
到达域	${\displaystyle \left\{y\in \mathbb {R} :-{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}}\land y\neq 0\right\}}$ ${\displaystyle \left\{y\in \mathbb {R} :-90^{\circ }\leq y\leq 90^{\circ }\land y\neq 0\right\}}$
周期	N/A
特定值
当x=0	不存在[注 1]
当x=+∞	0
当x=-∞	0
当x=1	${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}}$ （-90°）
当x=-1	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$ （90°）
其他性质
渐近线	${\displaystyle y=0}$
不动点	±1.11415714087193...

原始的定义是将馀割函数限制在${\displaystyle [-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}]}$（[-90°, 90°]）的反函数
在复变分析中，反馀割是这样定义的：

${\displaystyle \operatorname {arccsc} x=-{i}\ln \left({\tfrac {i}{x}}+{\sqrt {1-{\tfrac {1}{x^{2}}}}}\right)\,}$

这个动作使反馀割被推广到复数。

下图表示推广到复数的反馀割复数平面函数图形，可以见到图中央有一条明显的横线正好是实数中未被定义的区间${\displaystyle [-1,1]}$。

拓展到复数的反馀割函数

参见

• 反三角函数
• 馀割函数
• 反正弦

注释

1. 由于反馀割在x=0未定义，因此考虑复变反馀割函数，^[2]但由在x=0时于左极限不等于右极限，因此也不存在极限因此Arccsc 0不存在。

参考文献

1. Weisstein, Eric W. "Inverse Cosecant." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
2. 反馀割在x=0的极限 wolframalpha.com [2015-06-25]
3. Gradshtein, I. S., I. M. Ryzhik, et al. (2000). Table of integrals, series, and products, Academic Pr.