鞍点

鞍点（英语：Saddle point）指一个非局部极值点的驻点。鞍点这词语来自于不定二次型${\displaystyle x^{2}-y^{2}\,}$的二维图形，像个马鞍：在x-轴方向往上曲，在y-轴方向往下曲。

${\displaystyle z=x^{2}-y^{2}\,}$的鞍点在 (0,0)

数学描述

广义而说，一个光滑函数（曲线、曲面或超曲面）的鞍点邻域的曲线、曲面或超曲面，都位于马鞍点点的切线的不同边。

检验

检验二元实函数F(x,y)的驻点是不是鞍点的一个简单的方法，是计算函数在这个点的黑塞矩阵：如果该矩阵行列式小于0，则该点就是鞍点。例如，函数${\displaystyle z=x^{2}-y^{2}}$在驻点${\displaystyle (0,0)}$的黑塞矩阵是：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&0\\0&-2\\\end{bmatrix}}}$

此矩阵有两个特征值2，－2。它的行列式小于0，因此，这个点是鞍点。然而，这个条件只是充分条件，例如，对于函数${\displaystyle z=x^{4}-y^{4},}$点${\displaystyle (0,0)}$是一个鞍点，但函数在原点的黑塞矩阵是零矩阵，并不小于0。

对于一般的多元函数，点是鞍点的必要条件是该点的黑塞矩阵不定。

性质

${\displaystyle y=x^{3}\,}$的鞍点在 (0,0)，不过一维鞍点看起来并不像马鞍

在一维空间里，鞍点是驻点，也是反曲点。因为函数图形在鞍点由凸转凹，或由凹转凸，鞍点不是区域性极点。

设一个只有一个变数的函数。这函数在鞍点的一次导数等于零，二次导数换正负符号·例如，函数 ${\displaystyle y=x^{3}\,}$就有一个鞍点在原点。

两座山中间的鞍点（双纽线的交叉点）

设一个拥有两个以上变数的函数。它的曲面在鞍点好像一个马鞍，在某些方向往上曲，在其他方向往下曲。在一幅等高线图里，一般来说，当两个等高线圈圈相交叉的地点，就是鞍点。例如，两座山中间的山口就是一个鞍点。

参见

• 驻点
• 拐点
• 极值
• 鞍部

参考文献

• Gray,, Lawrence F.; Flanigan, Francis J.; Kazdan, Jerry L.; Frank, David H; Fristedt, Bert, Calculus two: linear and nonlinear functions, Berlin: Springer-Verlag: page 375, 1990, ISBN 0-387-97388-5 引文格式1维护：冗余文本 (link)
• Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan, Geometry and the Imagination 2nd, New York: Chelsea, 1952, ISBN 978-0-8284-1087-8
• von Petersdorff, Tobias, Critical Points of Autonomous Systems, Differential Equations for Scientists and Engineers (Math 246 lecture notes), 2006, （原始内容存档于2007-01-03）
• Widder, D. V., Advanced calculus, New York: Dover Publications: page 128, 1989, ISBN 0-486-66103-2 引文格式1维护：冗余文本 (link)