直观上,于“开集”或说“不含边界的集合”中任取一点,都可以找到一个以此点为圆心,且半径足够小到落在“开集”里的圆盘(但圆盘的边界可能不在开集内)。开集的严谨定义由此而来。
所谓的维欧式空间,指的是囊括所有实数n-元组的集合(记为)。 为了定义开集,可以推广勾股定理,将 中任两点 与 的欧式距离定义为:
然后定义所谓的(维)开球(open ball):
也就是直观上,一个以为球心,为半径但不包含表面的球体。
这样就可以作如下的定义:
也就是直观上,取开集 的任意点 都有一个以 为球心的开球完全包含于 。
只要把上节的欧式距离改成一般的度量,开集的概念很容易推广到赋距空间中。
以下把 中的开球(open ball)定义成:
这样就可以作如下的定义:
这的确推广了欧式空间部分的定义,因为欧式距离 和本身就组成了一个赋距空间。
赋距空间的开集还会有以下的性质:
More information (1) 对每个 ...
证明
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(1) 对每个都有,所以是自己的一个开集;另外对所有都有(直观上来说没有点可以当开球的球心),所以逻辑上不用验证是否有开球包含于,就可以得到满足开集的定义 (直观上来说,前提为假的话,不论结论是否为真,“前提=>结论”都是对的)。
(2) 若,依据假设存在 使得 且 ,这样取 的话,就有,是故也是 的开集。
(3) 若,依照联集的性质,存在 使得 ;但根据假设, 都是 的开集,换句话说,存在 使 ,那因为 ,所以有 ,是故 也是 的开集。
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事实上这些性质这就是拓扑空间定义的动机。
- 度量空间中,以点为中心,为半径的球体为开集,任意的开集包含以为中心,充分小的为半径的球体。
- 流形中的开集为子流形。