长球面坐标系

长球面坐标系（英语：Prolate spheroidal coordinates）是一种三维正交坐标系。设定二维椭圆坐标系包含于 xz-平面；两个焦点 ${\displaystyle F_{1}}$ 与 ${\displaystyle F_{2}}$ 的直角坐标分别为 ${\displaystyle (0,\ 0,\ -a)}$ 与 ${\displaystyle (0,\ 0,\ a)}$ 。将椭圆坐标系绕著 z-轴旋转，则可以得到长球面坐标系。（假若，绕著 y-轴旋转，则可以得到扁球面坐标系。）椭圆坐标系的两个焦点，包含于 z-轴。长球面坐标系可以被视为椭球坐标系的极限案例，其两个最短的半轴的长度相同。

图 1 ）长球面坐标系的几个坐标曲面。红色长球面的 ${\displaystyle \mu =1}$ 。蓝色半个双叶双曲面的 ${\displaystyle \nu =45^{\circ }}$ 。黄色半平面的 ${\displaystyle \phi =-60^{\circ }}$ （黄色半平面与 xz-半平面之间的二面角角度是 ${\displaystyle \left|\phi \right|}$ ）。z-轴是垂直的，以白色表示。 x-轴以绿色表示。三个坐标曲面相交于点 P （以黑色的圆球表示），直角坐标大约为 ${\displaystyle (0.831,\ -1.439,\ 2.182)}$ 。

图 2 ）两个焦点在 z-轴的椭圆坐标系绘图。横轴是 x-轴，竖轴是 z-轴。红色椭圆（ ${\displaystyle \mu }$-等值线）变成上图的红色长球面（ ${\displaystyle \mu }$ 坐标曲面），而 ${\displaystyle x>0}$ 青蓝色双曲线（ ${\displaystyle \nu }$-等值线）则变成蓝色双叶双曲面（ ${\displaystyle \nu }$ 坐标曲面）。

基本定义

在三维空间里，一个点 P 的长球面坐标 ${\displaystyle (\mu ,\ \nu ,\ \phi )}$ 常见的定义是

${\displaystyle x=a\ \sinh \mu \ \sin \nu \ \cos \phi }$ 、

${\displaystyle y=a\ \sinh \mu \ \sin \nu \ \sin \phi }$ 、

${\displaystyle z=a\ \cosh \mu \ \cos \nu }$ ；

其中，${\displaystyle \mu \geq 0}$ 是个实数，弧度 ${\displaystyle 0\leq \nu \leq \pi }$ ，弧度 ${\displaystyle 0\leq \phi \leq 2\pi }$ 。

坐标曲面

${\displaystyle \mu }$ 坐标曲面是长球面：

${\displaystyle {\frac {z^{2}}{a^{2}\cosh ^{2}\mu }}+{\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\sinh ^{2}\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1}$ 。

每一个长球面都是由椭圆绕著 z-轴旋转形成的。椭球面与 xz-平面的相交，是一个椭圆。沿著 x-轴，椭圆的短半轴长度为 ${\displaystyle a\sinh \mu }$ ，沿著 z-轴，椭圆的长半轴长度为 ${\displaystyle a\cosh \mu }$ 。椭圆的焦点都包含于 z-轴，z-坐标分别为 ${\displaystyle \pm a}$ 。

${\displaystyle \nu }$ 坐标曲面是半个旋转双叶双曲面：

${\displaystyle {\frac {z^{2}}{a^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\sin ^{2}\nu }}=\cosh ^{2}\mu -\sinh ^{2}\mu =1}$ 。

当 ${\displaystyle \nu <\pi /2}$ 时，坐标曲面在 xy-平面以上；当 ${\displaystyle \nu >\pi /2}$ 时，坐标曲面在 xy-平面以下。

${\displaystyle \phi }$ 坐标曲面是个半平面 ：

${\displaystyle x\sin \phi -y\cos \phi =0}$ 。

标度因子

长球面坐标 ${\displaystyle \mu }$ 与 ${\displaystyle \nu }$ 的标度因子相等：

${\displaystyle h_{\mu }=h_{\nu }=a{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}}$ 。

方位角 ${\displaystyle \phi }$ 的标度因子为

${\displaystyle h_{\phi }=a\sinh \mu \ \sin \nu }$ 。

无穷小体积元素是

${\displaystyle dV=a^{3}\sinh \mu \ \sin \nu \ \left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)d\mu d\nu d\phi }$ 。

拉普拉斯算子是

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\left[{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}+\coth \mu {\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}+\cot \nu {\frac {\partial \Phi }{\partial \nu }}\right]+{\frac {1}{a^{2}\sinh ^{2}\mu \sin ^{2}\nu }}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}}$ 。

其它微分算子，像 ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ ， ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ ，都可以用 ${\displaystyle (\mu ,\ \nu ,\ \phi )}$ 坐标表示，只要将标度因子代入在正交坐标系条目内对应的一般公式。

应用

当边界条件涉及长球面时，长球面坐标时常可以用来解析偏微分方程式。例如，位置分别在 z-轴两个焦点的电子，会产生怎样的静电场？一个关于氢离子 ${\displaystyle H_{2}^{+}}$ 的问题是，当移动于两个正价的原子核中间时，一个电子的波函数是什么？另外一个很实际的问题是，两个小电极尖端之间的电场是什么？极限案例包括一根电线段 (${\displaystyle \mu =0}$) 产生的电场，缺了一线段的一根电线 (${\displaystyle \nu =0}$) 产生的电场。

第二种表述

图 3 ）第二种长球面坐标系 ${\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ \phi )}$ 的三个坐标曲面。红色长球面的 ${\displaystyle \sigma =1.54}$ 坐标曲面。蓝色半个旋转双曲面的 ${\displaystyle \tau =0.71}$ 坐标曲面 。黄色半平面的 ${\displaystyle \phi =-60^{\circ }}$ 坐标曲面 （黄色半平面与 xz-半平面之间的二面角角度是 ${\displaystyle \left|\phi \right|}$ ）。z-轴是垂直的，以白色表示。 x-轴以绿色表示。三个坐标曲面相交于点 P （以黑色的圆球表示）。直角坐标大约为 ${\displaystyle (0.831,\ -1.439,\ 2.182)}$ 。

另外，还有一种比较有几何直觉性的扁球面坐标系 ${\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ \phi )}$ ：

${\displaystyle \sigma =\cosh \mu }$ 、

${\displaystyle \tau =\cos \nu }$ 、

${\displaystyle \phi =\phi }$ 。

其中，${\displaystyle \sigma \geq 1}$ 是个实数，${\displaystyle 1\geq \tau \geq -1}$ 是个实数，弧度 ${\displaystyle 0\leq \phi \leq 2\pi }$ 。

与扁球面坐标系不同，长球面坐标系并没有简并。在三维空间里，长球面坐标系与直角坐标有一一对应关系:

${\displaystyle x=a{\sqrt {\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}\cos \phi }$ 、

${\displaystyle y=a{\sqrt {\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}\sin \phi }$ 、

${\displaystyle z=a\ \sigma \ \tau }$ 。

坐标曲面

${\displaystyle \sigma }$ 坐标曲面是长球面：

${\displaystyle {\frac {z^{2}}{a^{2}\sigma ^{2}}}+{\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}(\sigma ^{2}-1)}}=1}$ 。

每一个长球面都是由椭圆绕著 z-轴旋转形成的。椭球面与 xz-平面的相交，是一个椭圆。沿著 x-轴，椭圆的短半轴长度为 ${\displaystyle a{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}$ ，沿著 z-轴，椭圆的长半轴长度为 ${\displaystyle a\sigma }$ 。椭圆的焦点都包含于 z-轴，z-坐标分别为 ${\displaystyle \pm a}$ 。

${\displaystyle \tau }$ 坐标曲面是半个旋转双曲面：

${\displaystyle {\frac {z^{2}}{a^{2}\tau ^{2}}}-{\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}(1-\tau ^{2})}}=1}$ 。

当 ${\displaystyle \tau >0}$ 时，坐标曲面在 xy-平面以上；当 ${\displaystyle \tau <0}$ 时，坐标曲面在 xy-平面以下。

${\displaystyle \phi }$ 坐标曲面是个半平面 ：

${\displaystyle x\sin \phi -y\cos \phi =0}$ 。

任何一点 P 与焦点 ${\displaystyle F_{1}}$ ，${\displaystyle F_{2}}$ 的距离 ${\displaystyle d_{1}}$ ，${\displaystyle d_{2}}$ ，可以一个很简单的公式表示：

${\displaystyle d_{1}+d_{2}=2a\sigma }$ 、

${\displaystyle d_{1}-d_{2}=2a\tau }$ 。

所以，点 P 与焦点 ${\displaystyle F_{1}}$ 的距离 ${\displaystyle d_{1}}$ 是 ${\displaystyle a(\sigma +\tau )}$ ，点 P 与焦点 ${\displaystyle F_{2}}$ 的距离 ${\displaystyle d_{2}}$ 是 ${\displaystyle a(\sigma -\tau )}$ 。（回想 ${\displaystyle F_{1}}$ ，${\displaystyle F_{2}}$ 都是在 z-轴，分别位于 ${\displaystyle z=-a}$ ，${\displaystyle z=+a}$ 。）

标度因子

第二种长球面坐标 ${\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ \phi )}$ 的标度因子分别为:

${\displaystyle h_{\sigma }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sigma ^{2}-1}}}}$ 、

${\displaystyle h_{\tau }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{1-\tau ^{2}}}}}$ 、

${\displaystyle h_{\phi }=a{\sqrt {\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}}$ 。

无穷小体积元素是

${\displaystyle dV=a^{3}\left(\sigma ^{2}-\tau ^{2}\right)d\sigma d\tau d\phi }$ 。

拉普拉斯算子是

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}-\tau ^{2}\right)}}\left\{{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left[\left(\sigma ^{2}-1\right){\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right]+{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left[\left(1-\tau ^{2}\right){\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right]\right\}+{\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}}$ 。

其它微分算子，像 ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ ， ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ ，都可以用 ${\displaystyle (\mu ,\ \nu ,\ \phi )}$ 坐标表示，只要将标度因子代入在正交坐标系条目内对应的一般公式。

应用

如同球坐标解答的形式为球谐函数，拉普拉斯方程可以用分离变数法来求解，得到形式为长扁球谐函数的答案。假若，边界条件涉及长球面，我们可以优先选择这方法来解析。

参阅

参考目录

不按照命名常规

• Morse PM, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. 1953: p. 661. 引文格式1维护：冗余文本 (link) 采用 ${\displaystyle \xi _{1}=a\cosh \mu }$ 、${\displaystyle \xi _{2}=\sin \nu }$ 、${\displaystyle \xi _{3}=\cos \phi }$ 。

• Zwillinger D. Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett. 1992: p. 114. ISBN 0-86720-293-9. 引文格式1维护：冗余文本 (link) 如同 Morse & Feshbach (1953) ，采用 ${\displaystyle u_{k}}$ 来替代 ${\displaystyle \xi _{k}}$ 。

• Smythe, WR. Static and Dynamic Electricity 3rd ed. New York: McGraw-Hill. 1968. 引文格式1维护：冗余文本 (link)

• Sauer R, Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. 1967: p. 97. 引文格式1维护：冗余文本 (link) 采用混合坐标 ${\displaystyle \xi =\cosh \mu }$ 、${\displaystyle \eta =\sin \nu }$ 、${\displaystyle \phi =\phi }$ 。

按照命名常规

• Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 177. 引文格式1维护：冗余文本 (link) 采用第一种表述 ${\displaystyle (\mu ,\ \nu ,\ \phi )}$ ，又加介绍了简并的第三种表述 ${\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ \phi )}$ 。

• Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. 1956: p. 180–182. 引文格式1维护：冗余文本 (link) 如同 Korn and Korn (1961) ，但采用馀纬度 ${\displaystyle \theta =90^{\circ }-\nu }$ 来替代纬度 ${\displaystyle \nu }$ 。

• Moon PH, Spencer DE. Oblate spheroidal coordinates (η, θ, ψ). Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions corrected 2nd ed., 3rd print ed. New York: Springer Verlag. 1988: pp. 28–30 (Table 1.06). ISBN 0-387-02732-7. 引文格式1维护：冗余文本 (link) Moon and Spencer 采用馀纬度常规 ${\displaystyle \theta =90^{\circ }-\nu }$ ，又改名 ${\displaystyle \phi }$ 为 ${\displaystyle \psi }$ 。

特异命名常规

• Landau LD, Lifshitz EM, Pitaevskii LP. Electrodynamics of Continuous Media (Volume 8 of the Course of Theoretical Physics) 2nd edition. New York: Pergamon Press. 1984: pp. 19–29. ISBN 978-0750626347. 引文格式1维护：冗余文本 (link) 视长球面坐标系为椭球坐标系的极限。