相干性

在物理学中，相干性（coherence）又称同调性^[1]，陈述两列波相互干扰的可能性。来自同一单光源的两单色光束总是相互干扰（干涉）^[2]。若两个波源的频率和波形相同，则它们是相干的（coherent）或同调的。相干的的两波物理源（physical source）并不严格限单色的，它们可能是部分相干的（partly coherent）。但来自不同物理源的光束，则互为非相干的^[3]（incoherent）。

相干性是波的一个理想内禀属性（英语：Intrinsic and extrinsic properties），它使波可进行“定态干涉”（stationary interference，时间或空间固定下的干涉）；亦即为了产生显著的干涉现象，波所需具备的性质。相干性描述一个波列在同一时间不同位置，或者在同一位置不同时间的“振动间有恒定相位关系”的特性，可分为空间相干性、时间相干性和部分相干性三种。更概括地说，相干性描述了单波与自己、多波之间、波包之间，某些物理量间的相关特性。

当两个波彼此相互干涉时，因为相位的差异，会造成相长干涉或相消干涉。假若两个正弦波的相位差为常数，则这两个波的频率必定相同，称这两个波“完全相干”。两个“完全不相干”的波，例如白炽灯或太阳所发射出的光波，由于产生的干涉图样不稳定，无法被明显地观察到。在这两种极端之间，存在著“部分相干”的波。^{[注 1]}

相干性大致分为时间相干性与空间相干性两类。时间相干性与波的频宽有关；而空间相干性则与波源的有限尺寸有关。

波与波之间的相干性可以用相干度（英语：degree of coherence）来量度。干涉可见度（英语：interference visibility）是波与波之间的干涉图样的辐照度对比，相干度可以从干涉可见度计算出来。

波源

一般而言，互不相关的波源无法形成可观察到的干涉图样。例如白炽灯或太阳是由很多互不相关、持续生成的微小发光点所组成，每一个发光点只会作用一段时间${\displaystyle \Delta t\approx 10^{-8}-10^{-9}sec}$，发射出一个有限长度的波列，之后，再也不会发光，但在其它位置，又会出现新的发光点。为了要能拍摄到这类光源所产生的由两个波列叠加形成的干涉图样，摄影仪器的曝光时间必须要小于${\displaystyle \Delta t}$。在旧时，无法制造出这么高阶的摄影仪器，因此从这类光源很难拍摄到干涉图样。^[5]但是，通过适当处理，仍旧可以观察到这些光源的干涉图样。^{[6]:457, 460}

为了要观察到这些互不相关的波源所形成的涉图样，必须从这些波源制造出相干性较高的波。有两种方法可以达成这目标：

1. 第一种方法称为“波前分割法”。从微小波源发射出的波，其波前与微小波源之间的距离大致相等。使用具有几条狭缝的档板来过滤从微小波源发射出的波，只要这些狭缝与微小波源之间的距离相等，就可以保证同样的波前入射于这几条狭缝。位于波前的每一点都可以视为一个波源，会发射出次波。因此，从这几条狭缝衍射出来的次波，其相位大致相同。杨氏双缝实验就是藉著这方法制成两束相干性较高的光波，这两束光波会在观察屏产生干涉图样。
2. 第二种方法称为“波幅分割法”。用半透射、半反射的半镀银镜，可以将光波一分为二，制造出透射波与反射波，这两束光波非常相似，相干性非常高。假设这两束光波的光程长度不相等，则由于在观察屏的相位不同，会产生明显不同的干涉图样。迈克生干涉仪使用的就是这种方法。^[5]

自从激光、激微波的发明以后，物理学者不再为寻找高相干性的光源这问题而烦恼，激光所制造出来的波列通常能维持${\displaystyle \Delta t\approx 10^{-3}sec}$之久。这给予足够的曝光时间来拍摄干涉图样。

应用

以前，只有在学习光学的杨式双缝实验时，才会接触到相干性这术语。现今许多涉及波动的领域，像声学、电子工程、量子力学等等，都会使用到这术语。许多科技的运作都倚赖相干性质为基础。例如，全像摄影术、音波相位阵列、光学相干断层扫描、天文光学干涉仪、与射电望远镜、等等。

相干性与相关性

两个波的相干性，称为“互相干性”，来自于它们彼此之间的相关程度，也就是说，它们彼此之间的相似程度。互相关函数可以量度互相干性。^{[7]:564[6]:545-550} 互相关函数可以量度从一个波预测另一个波的能力。举例而言，设想完全同步相关的两个波。在任意时间，假若一个波发生任何变化，则另一个波也会做出同样的变化；让这两个波互相干涉，则在任意时间，它们都会展示出完全相长干涉，它们具有完全相干性。互相关函数可以用来支持模式识别系统，例如，指纹识别。

如稍后所述，第二个波不必是另外一个实体，它可能是在不同时间或不同位置的第一个波。这案例所涉及的相关称为“自相干性”；对于这案例，可以用自相关函数来量度自相干性。自相关函数可以用来从带有随机噪声背景的信号中提取出资讯信号。^[6]:545-550

严格定义

假设在点S₁、点S₂的波扰分别为${\displaystyle {\tilde {E}}_{1}(t)}$、${\displaystyle {\tilde {E}}_{2}(t)}$（波浪号代表复数），则其互相关函数${\displaystyle {\tilde {\Gamma }}_{12}(\tau )}$为^{[6]:566-571[8]:115-118}

${\displaystyle {\tilde {\Gamma }}_{12}(\tau )=\langle {\tilde {E}}_{1}(t+\tau ){\tilde {E}}_{2}^{\,*}(t)\rangle \ {\stackrel {def}{=}}\ \lim _{T\rightarrow \infty }{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}{\tilde {E}}_{1}(t+\tau ){\tilde {E}}_{2}^{\,*}(t)\mathrm {d} t}$；

其中，单书名号表示取时间平均值，${\displaystyle T}$是平均的时间间隔，${\displaystyle \tau }$是相对时移。

互相关函数又称为“互相干函数”。理论而言，必需取${\displaystyle T}$趋向于无穷大的极限；然而，实际而言，只要平均的时间间隔比相干时间（大约是有限长度的波列通过某固定点的有限时间）长久很多就行了。

从互相关函数的定义式，可以衍生出自相关函数，又称为“自相干函数”。波${\displaystyle {\tilde {E}}_{1}(t)}$与相对时移${\displaystyle \tau }$的自己波，两者之间的自相干函数为

${\displaystyle {\tilde {\Gamma }}_{11}(\tau )=\langle {\tilde {E}}_{1}(t+\tau ){\tilde {E}}_{1}^{\,*}(t)\rangle }$。

归一化的互相干函数${\displaystyle {\tilde {\gamma }}_{12}(\tau )}$又称为两个波的“复相干度”，以方程式表示为

${\displaystyle {\tilde {\gamma }}_{12}(\tau )={\frac {{\tilde {\Gamma }}_{12}(\tau )}{\sqrt {{\tilde {\Gamma }}_{11}(0){\tilde {\Gamma }}_{22}(0)}}}={\frac {\langle {\tilde {E}}_{1}(t+\tau ){\tilde {E}}_{2}^{\,*}(t)\rangle }{\sqrt {\langle |{\tilde {E}}_{1}(t)|^{2}\rangle \langle |{\tilde {E}}_{2}(t)|^{2}\rangle }}}}$。

从柯西-施瓦茨不等式可以推导出${\displaystyle |{\tilde {\gamma }}_{12}(\tau )|\leq 1}$。

绝对值${\displaystyle |{\tilde {\gamma }}_{12}(\tau )|}$就是“相干度”。当${\displaystyle |{\tilde {\gamma }}_{12}(\tau )|=1}$时，波${\displaystyle {\tilde {E}}_{1}}$与波${\displaystyle {\tilde {E}}_{2}}$完全相干；当${\displaystyle |{\tilde {\gamma }}_{12}(\tau )|=0}$时，两个波完全不相干；当${\displaystyle 0<|{\tilde {\gamma }}_{12}(\tau )|<1}$时，两个波部分相干。

本图展示各种干涉图样的明暗条纹的清晰程度与干涉可见度的关系。纵轴是辐照度除以最大辐照度，横轴是空间坐标。

“干涉可见度”量度干涉图样的明暗条纹的清晰程度，以方程式定义，

${\displaystyle {\mathcal {V}}={\frac {I_{max}-I_{min}}{I_{max}+I_{min}}}}$；

其中，${\displaystyle I_{max}}$、${\displaystyle I_{min}}$分别为干涉图样的最大辐照度与最小幅照度。

干涉可见度的范围在0到1之间。假设两个波的振幅相等，则干涉可见度等于相干度：

${\displaystyle {\mathcal {V}}=|{\tilde {\gamma }}_{12}(\tau )|}$。

各种波动实例

下述这些波的共同之处是，它们的物理行为可以用波动方程式或推广的波动方程式来描述：

• 绳索的机械波。
• 液体的表面波。
• 电缆的电磁波。
• 声波。
• 无线电波与微波。
• 光波。
• 量子尺寸粒子的物质波。

这些种类的波的物理行为，大多数可以直接测量获得。因此，波与波之间的互相干函数可以很简单地求得。但是，在光学里，不能直接的测量电磁场，因为电磁场的震荡太快，比任何探测器的时间分辨率还要快。^[9]可行之道是测量光波的辐照度。

大多数在这条目提到的涉及相干性的概念，都是先在光学领域发展成功，然后再适应于其它领域。因此，许多相干性测量标准都是采用间接地测量，甚至在可以直接测量的领域，都是这样做。

时间相干性

图1：本图显示出，一个单色波的振幅（红色），与延迟了时间${\displaystyle \tau }$的自己波的振幅（绿色），这两个振幅随著时间${\displaystyle t}$的演进而变化。这两个波的相干时间是无穷大。因为，对于所有可能延迟时间${\displaystyle \tau }$，它们完全相干：${\displaystyle |{\tilde {\gamma }}_{11}(\tau )|=1}$。^[8]:118

图2：本图显示出，一个相位显著飘移的准单色波的振幅（红色，相干时间为${\displaystyle \tau _{c}}$），与延迟了时间${\displaystyle 2\tau _{c}}$的自己波的振幅（绿色），这两个振幅随著时间${\displaystyle t}$的演进而变化。在任何给定时间${\displaystyle t}$，红色波会与绿色波互相干涉。但是由于一半时间，红色波与绿色波同相，另一半时间，两个波异相，所以，对于这延迟，经过时间平均后，自相干函数可以近似为0。

图3：本图显示出，一个波包的振幅（红色）与延迟了时间${\displaystyle 2\tau _{c}}$的自己波包的振幅（绿色），这两个振幅随著时间${\displaystyle t}$的演进而变化。从本图可以观察到，经过时间${\displaystyle \tau _{c}}$，波包的振幅有显著地改变。在任何瞬时，红色波包与绿色波包是不相关的；当一个波包在做大幅度振荡的时候，另一个波包却是非常的平静。所以，在这里，并没有干涉效应发生。换另一种方法来看，波包并没有重叠于时间，在任何瞬时，最多只有一个波包贡献震荡，不会产生干涉。

一个波${\displaystyle {\tilde {E}}_{1}(t)}$与延迟了时间${\displaystyle \tau }$的自己波，两者之间的自相干函数${\displaystyle {\tilde {\Gamma }}_{11}(\tau )}$，可以用来量度时间相干性。对应的复相干度为${\displaystyle {\tilde {\gamma }}_{11}(\tau )}$，又称为“复时间相干度”。时间相干性可以表达波源的单色性质，可以量度一个波在延迟某时间后干涉自己的能力，因此又称为“纵向相干性”。经过一段延迟时间${\displaystyle \tau }$后，假若一个波的相位或波幅开始发生足够显著的变化（因此自相干函数开始显著地减小），则定义此延迟时间为“相干时间”${\displaystyle \tau _{c}}$。有限长度的波列通过某固定点的有限时间大约是相干时间。当${\displaystyle \tau =0}$时，一个波${\displaystyle {\tilde {E}}_{1}(t)}$与自己的相干度为${\displaystyle |{\tilde {\gamma }}_{11}(0)|=1}$；而当${\displaystyle \tau \geq \tau _{c}}$时，相干度${\displaystyle |{\tilde {\gamma }}_{11}|}$会显著地减小，显示在观察屏的干涉图样也会变得模糊不清。“相干长度”${\displaystyle L_{c}}$定义为，在相干时间${\displaystyle \tau _{c}}$内，波所能传播的距离，又称为“纵向相干长度”。^{[6]:560, 571-573}

相干时间与频宽的关系

由于周期的倒数是频率，一个波在越短时间内，变的不自相干（${\displaystyle \tau _{c}}$越小），则波的频宽${\displaystyle \Delta f}$越大。两个物理量的关系方程为^{[6]:358-359, 560}

${\displaystyle \tau _{c}\Delta f\approx 1}$。

用波长${\displaystyle \lambda =c/f}$来表达，

${\displaystyle {\frac {L_{c}\Delta \lambda }{\lambda ^{2}}}\approx 1}$。

用数学表述，这结果可以从傅立叶变换推导出来。自相干函数的傅里叶变换就是功率谱（英语：power spectrum）（每个频率的辐照度）。^[6]:572

实例

试想下述四个关于时间相干性的实例：

• 对于任何时间间隔，一个单色波都是完全的自相干（参阅图1）。
• 反过来说，一个相位迅速飘移的波，其相干时间必定很短（参阅图2）。
• 类似地，具有较宽频域的脉冲波（一种波包），由于振幅迅速地变化，所以，相干时间很短（参阅图3）。
• 白光拥有非常宽的频域，是一种振幅与相位都迅速变化的波。由于相干时间很短（10周期左右），常被称为“不相干波”。

白光的频宽大约为3×10¹⁴Hz，因此相干时间为3×10^-15s，相干长度非常短，大约只有900nm。普通放电灯的频宽也很宽阔，因此相干长度也相当短，大约为几个mm数量级。国际标准Kr⁸⁶低气压放电灯的相干长度比较长，大约为0.3m。^[6]:316

激光通常是最单色的光源。高度的单色性意味著相干长度很长。例如，单模氦氖激光器能够发射相干长度接近400m的光。特别稳定性氦氖激光的相干长度可以达到1.5×10⁷m。^[6]:316

全息摄影需要用到长相干时间的光。^[6]:635由于具有脉冲高能量与较长的相干时间这两种优点，红宝石激光时常被应用于全息摄影。^[10]:549相对比较，光学相干断层扫描使用短相干时间的光。

测量方法

图4：输入波为图 (2)或图 (3)的波，在辐照度干涉仪输出点侦测到的，经过时间平均后的辐照度，以延迟时间${\displaystyle \tau }$的函数形式绘制。假设将延迟时间改变半个周期，则干涉会从建设性转换为摧毁性，或从摧毁性转换为建设性。黑色曲线显示出干涉包络线，这是相干度的曲线。虽然，图 (2)或图 (3)的波有不同的持续期，它们有同样的相干时间。

在光学里，时间相干性可以用干涉仪来测量，例如，迈克生干涉仪或马赫-曾德尔干涉仪。干涉仪先将输入波复制，延后${\displaystyle \tau }$时间，然后将输入波与复制波合并为输出波，再用辐照度探测器来测量经过时间平均后的输出波辐照度，得到的数据，稍加运算，可以求得干涉可见度。这样，可以知道延迟时间为${\displaystyle \tau }$的相干度。对于大多数的天然光源，由于相干时间超短于探测器的时间分辨率，探测器自己就可以完成时间平均工作。

思考图 (3)案例，在相干时间${\displaystyle \tau _{c}}$内，波的辐照度显著地涨落不定。假设延迟时间为${\displaystyle 2\tau _{c}}$，则一个无穷快的探测器所测量出的辐照度也会显著地涨落不定。对于这案例，可以手工计算辐照度的时间平均值来求得时间相干性。

空间相干性

波源绵延有限尺寸的杨氏双缝实验示意图。最右边的干涉图样是由单独点波源产生的图样。

为了展示出显著的干涉图样，杨氏双缝实验所使用的光源必须具有空间相干性。光学影像系统与天文望远镜的制作必需考虑到光源的空间相干性。

空间相干性与波源的有限尺寸有关。这可以用杨式双缝实验来解释。在典型的杨式双缝实验里，只存在有一个点光源S，其所发射出的单色光，在通过不透明挡板的位于点S₁、点S₂的两条狭缝之后，会在观察屏显示出干涉图样。现在将这实验加以延伸，将点光源S改为绵延有限尺寸${\displaystyle b}$的线光源。从做实验获得的结果，物理学者发觉，假定线光源与挡板之间的距离${\displaystyle R}$足够远，则若要在观察屏的中央轴区域显示出干涉图样，必须先满足以下条件：^[11]:42-43

${\displaystyle b\theta \lesssim \lambda }$；

其中，${\displaystyle \theta }$是点S₁、点S₂对于顶点S的夹角。${\displaystyle \lambda }$是光波的平均波长。

注意到${\displaystyle \theta \approx {\mathcal {L}}/R}$、${\displaystyle \alpha \approx b/R}$；其中，${\displaystyle {\mathcal {L}}}$是两个狭缝之间的距离，${\displaystyle \alpha }$是有限尺寸光源对于档板中央轴交点的夹角。所以，必须满足条件^[11]:42-43

${\displaystyle {\mathcal {L}}\lesssim \lambda /\alpha }$。

因此，可以估算这问题的“横向相干长度”为${\displaystyle {\mathcal {L}}_{c}=\lambda /\alpha }$。假若两个狭缝之间的距离大于${\displaystyle {\mathcal {L}}_{c}}$，则干涉图样会消灭殆尽。对于三维案例，可以使用物理量“相干面积”，以方程式表示为${\displaystyle {\mathcal {A}}_{c}=\lambda ^{2}/\alpha ^{2}}$。

在许多物理系统里，像水波或光波一类的波可以传播于一维或多维的空间。空间相干性量度位于点S₁、点S₂的两个波扰，经过时间平均后，彼此相互干涉的能力。更精确地说，空间相干性是这两个波扰除去了延迟时间因素之后的互相关函数。假设某波前的波幅为常数，则在其任意两个位置的波扰，彼此之间都具有完全空间相干性。

继续思考杨氏双缝实验，只专注于档板与观察屏之间的状况。假设点S₁、点S₂的两个波扰分别为${\displaystyle {\tilde {E}}_{1}(t)}$、${\displaystyle {\tilde {E}}_{2}(t)}$，则其互相干函数${\displaystyle {\tilde {\Gamma }}_{12}(\tau )=\langle {\tilde {E}}_{1}(t+\tau ){\tilde {E}}_{2}^{\,*}(t)\rangle }$与点S₁、点S₂的位置和延迟时间${\displaystyle \tau }$有关。由于在观察屏的干涉图样，其中心点Q是中央轴与观察屏的交点，从点S₁、点S₂同时发射的光波，会在同时抵达点Q，延迟时间为

${\displaystyle \tau =(r_{1}-r_{2})/c\approx 0}$；

其中，${\displaystyle r_{1}}$、${\displaystyle r_{2}}$分别是从S₁、点S₂到点Q的距离，${\displaystyle c}$是光速。

因此，除去了延迟时间因素，互相干函数${\displaystyle {\tilde {\Gamma }}_{12}(0)}$可以量度在点S₁、点S₂的两个波扰的空间相干性。复相干度${\displaystyle {\tilde {\gamma }}_{12}(0)}$称为在点S₁、点S₂的两个波扰的“复空间相干度”。^[6]:572

实例

图5：一个单色平面波，相干长度与相干面积为无穷值。

图6：一个波前不规则的单色波。因为在点X₁与点X₁后面λ整数倍数之处的波幅永远相同，相干长度为无穷值，因为在点X₁与点X₂的波幅永远相同，相干面积也为无穷值。

图7：一个波前不规则的波，相干长度与相干面积为有限值。

图8：一个波前不规则、相干长度与相干面积为有限值的波，入射于具有一条狭缝的档板。入射波穿过狭缝后，衍射出来的波，其空间相干性会增加。经过传播一段距离，在离狭缝较远处，圆形波前的波近似于平面波。相干面积变为无穷值，而相干长度不变。

图9：两个同样的波，在空间里传播。一个波是另外一个波的位移，两个波的相干长度与相干面积分别为无穷值。两个波的结合，在某些位置，会建设性干涉（干涉相涨），在另外一些位置，会摧毁性干涉（干涉相消）。经过空间平均，探测器所观察到的干涉图样，其干涉可见度会减低。例如，一个未校准的马赫-曾德尔干涉仪就会出现这种状况。

试想一个电灯泡的钨丝，从其不同位置会独立地发射出毫无固定相位关系的光波。仔细观察，在任意时间，光波的剖面都毫无规律可言。每经过一段相干时间${\displaystyle \tau _{c}}$，光波的剖面都会机率性地变化。电灯泡是一个白光光源，相干时间${\displaystyle \tau _{c}}$很短，是一个空间不相干光源。

位于美国新墨西哥州的综合孔径射电望远镜甚大天线阵。

电波望远镜天线阵的空间相干性很高，在天线阵对端的每两根天线所发射出的光波，彼此之间都有特别设计的固定相位关系。

雷射产生的光波的时间相干性与空间相干性通常都很高，其相干度依激光的性质而定。

全像摄影术的运作，需要时间相干与空间相干的光波。它的发明者，伽博·丹尼斯，在雷射还没有被发明前，就已经成功地做出全像图。他将水银灯的发射线激发出的单色光，通过针孔过滤器，制成全像摄影术所需要的相干光波。

2011年2月，物理学者发现，冷却至接近绝对零度的氦原子，当变为玻色-爱因斯坦凝聚时，它们的物理行为会如同雷射发射出的相干光束一样。^[12][13]

波谱相干性

几个不同频率的波（在光学里，不同颜色的光波），假若是相干的，则会因相互干涉而形成一个脉冲波。

几个波谱不相干的波因相互干涉而形成的波，其相位与波幅都会随机变化。

不同频率的波（在光学里，不同颜色的光波），假若有固定的相对相位关系，则会因干涉而形成一个脉冲波（参阅傅里叶变换）。反过来说，假若不同频率的波是不相干的，则结合在一起它们会形成像白光或白噪声一类的波。脉冲波的时间持续期${\displaystyle \Delta t}$被频宽${\displaystyle \Delta f}$限制，依据关系方程式：

${\displaystyle \Delta f\Delta t\geq 1}$。

这关系方程式也可以从傅里叶变换推导出。对于量子尺寸的粒子，这是海森堡不确定原理的必然结果。

测量光的波谱相干性，需要用到非线形光波干涉仪（英语：nonlinear optical interferometer），像辐照度相关器（英语：Intensity optical correlator）、频域分辨光学开关或波谱相位干涉仪（英语：Spectral phase interferometry for direct electric-field reconstruction）。

量子相干性

在量子力学里，物质具有波动性（参阅德布罗意假说）。例如，杨氏双缝实验也可以用电子来完成。从电子源发射出的每一个电子可以穿过两条狭缝中的任何一条狭缝，因此，有两种抵达观察屏最终位置的方法可供选择。一种方法是将狭缝S₁关闭，电子只能穿过狭缝S₂；另一种方法是将狭缝S₂关闭，电子只能穿过狭缝S₁。每一种方法可以设定为一个特别的量子态。由于这两个量子态会相互干涉，因而影响电子抵达侦测屏最终位置的机率分布，也因此形成了观察屏的干涉图样。这相互干涉的能力展现出粒子的“量子相干性”。

假若，试图探测电子到底是经过哪一条狭缝。那么，两个量子态的相位关系会不再存在。这双态系统就会被退相干化。这现象显示出量子系统的互补性。

大尺寸（宏观）量子相干会导致新颖奇异的现象，称为宏观量子现象（英语：macroscopic quantum phenomena）。例如，雷射、超导现象、超流体等等，都是高度相干的量子系统，它们产生的效应可以在宏观尺寸观察到。超流体现象是玻色-爱因斯坦凝聚。所有组成凝聚的粒子都同相，可以用单独一个量子波函数来描述。

换另一方面，薛丁格猫思想实验强调，不能任意地将量子相干用在宏观案例。但是，物理学者于2009年成功地在机械共振器（英语：resonator）的运动里观测到量子相干现象。^[14]

参阅

• 相干态
• 量子退相干
• 原子相干性（英语：atomic coherence）

注释

1. 1860年代，法国物理学者埃米尔·韦尔代（英语：Émile Verdet）使用不相干光源重做杨氏干涉实验。他发现，只要两个针孔之间的距离小于0.05mm（太阳光的横向相干长度），就可以观察到干涉图样，从这狭缝衍射出的就是部分相干性光波。这实验开启了对于部分相干性质的研究。^[4]:560

参考文献

1. 存档副本. [2022-05-24]. （原始内容存档于2022-06-04）.
2. M.Born; E. Wolf. Principles of Optics 7th. Cambridge University Press. 1999: 256. ISBN 978-0-521-64222-4.
3. 存档副本. [2024-01-24]. （原始内容存档于2024-01-24）.
4. Hecht, Eugene, Optics 4th, United States of America: Addison Wesley, 2002, ISBN 0-8053-8566-5 （英语）
5. George Bekefi; Alan H. Barrett. Electromagnetic Vibrations, Waves, and Radiation. The MIT Press. 1977: pp. 590ff. ISBN 0-262-52047-8. 引文使用过时参数coauthors (帮助) 引文格式1维护：冗余文本 (link)
6. Hecht, Eugene, Optics 4th, United States of America: Addison Wesley: pp. 457, 460, 2002, ISBN 0-8053-8566-5 （英语） 引文格式1维护：冗余文本 (link)
7. M.Born; E. Wolf. Principles of Optics 7th ed. 1999. 引文使用过时参数coauthors (帮助) 引文格式1维护：冗余文本 (link)
8. Christopher Gerry; Peter Knight. Introductory Quantum Optics. Cambridge University Press. 2005. ISBN 978-0-521-52735-4.
9. Peng, J.-L.; Liu, T.-A.; Shu, R.-H. Optical frequency counter based on two mode-locked fiber laser combs. Applied Physics B. 2008, 92 (4): 513. Bibcode:2008ApPhB..92..513P. doi:10.1007/s00340-008-3111-6.
10. William T. Silfvast. Laser Fundamentals. Cambridge University Press. 12 January 2004. ISBN 978-0-521-83345-5.
11. Mandel, Leonard; Wolf, Emil. Optical Coherence and Quantum Optics illustrated, reprint. Cambridge University Press. 1995. ISBN 9780521417112. 引文使用过时参数coauthors (帮助)
12. Hodgman, S. S.; Dall, R. G.; Manning, A. G.; Baldwin, K. G. H.; Truscott, A. G. Direct Measurement of Long-Range Third-Order Coherence in Bose-Einstein Condensates. Science. 2011, 331 (6020): 1046–1049. Bibcode:2011Sci...331.1046H. PMID 21350171. doi:10.1126/science.1198481.
13. Pincock, S. Cool laser makes atoms march in time. ABC Science. ABC News Online. 25 February 2011 [2011-03-02]. （原始内容存档于2014-08-28）.
14. O'Connell, A. D.; Hofheinz, M.; Ansmann, M.; Bialczak, R. C.; Lenander, M.; Lucero, E.; Neeley, M.; Sank, D. & Wang, H. Quantum ground state and single-phonon control of a mechanical resonator. Nature. 2010, 464 (7289): 697–703. Bibcode:2010Natur.464..697O. PMID 20237473. doi:10.1038/nature08967.