辅助统计量

在统计学中， 辅助统计量是任何其分布不取决于模型参数的统计量。 ^[1]

这一概念是罗纳德·艾尔默·费希尔提出的。

定义

设${\displaystyle P_{\theta }}$是一概率模型，其中${\displaystyle \theta }$是参数。若对于来自样本的数据${\displaystyle \mathbf {Y} }$，统计量${\displaystyle T(\mathbf {Y} )}$的分布不依赖于${\displaystyle \theta }$，则称${\displaystyle T(\mathbf {Y} )}$是关于${\displaystyle \theta }$的辅助统计量。这即是说，对于任何博雷尔集${\displaystyle A}$，有${\displaystyle P_{\theta }(T(\mathbf {Y} )\in A)=\mu (A)}$，其中${\displaystyle \mu (\cdot )}$是不依赖于${\displaystyle \theta }$的概率测度。

例子

常数

很明显，常数是最简单的辅助统计量。

均值未知的正态分布的样本方差

对于正态分布模型${\displaystyle \{N(\mu ,\sigma ^{2})|\mu \in \mathbb {R} \}}$，其中方差${\displaystyle \sigma ^{2}}$已知，可以证明（在${\displaystyle n>1}$时）样本方差${\displaystyle {\widehat {\sigma }}^{2}={\frac {\sum \left(X_{i}-{\bar {X}}\right)^{2}}{n-1}}}$是${\displaystyle \mu }$的辅助统计量。实际上，样本方差的分布为比例卡方分布${\displaystyle \sigma ^{2}\cdot \chi _{n-1}^{2}}$，不依赖于${\displaystyle \mu }$。

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• 巴苏定理

参考文献

1. Casella, George; Berger, Roger L. Statistical Inference. Duxbury Thomson Learning. 2002: 660. ISBN 9780495391876.