力矩

力矩（moment of force^[1]，moment^[2]）在物理学中，是作用力促使物体绕著转动轴或支点转动的趋向^[3]；也就是作用力使物体产生“转”、“扭”或“弯”效应的量度。简略地说，力矩是一种施加于例如螺栓、飞轮一类的物体，或是拧毛巾、扳钢筋的扭转力。例如，用扳手的开口箝紧螺栓或螺帽，然后转动扳手，这动作会产生力矩来转动螺栓或螺帽。

在一个旋转系统里，作用力${\displaystyle \mathbf {F} \,\!}$、位置向量${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$、力矩${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\,\!}$、动量${\displaystyle \mathbf {p} \,\!}$、角动量${\displaystyle \mathbf {L} \,\!}$，这些物理量之间的关系。

使机械元件转动的力矩又称转矩（turning moment^[4]，moment of rotation^[5]）即转动力矩；在材料力学、土木工程和建筑学中，作用引起的结构或构件某一截面上的剪力所构成的力偶矩，称为扭矩^[6]（torsional moment，torque），而作用引起的结构或构件某一截面上的正应力所构成的力矩，则称为弯矩^[7]（bending moment）。

力矩能够使物体改变其旋转运动。推挤或拖拉涉及到作用力，而扭转则涉及到力矩。如上图，力矩${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\,\!}$等于径向向量${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$与作用力${\displaystyle \mathbf {F} \,\!}$的叉积。

根据国际单位制，力矩的单位是牛顿${\displaystyle \cdot }$米。本物理量非能量，因此不能以焦耳（J）作单位；根据英制单位，力矩的单位则是英尺${\displaystyle \cdot }$磅。力矩的表示符号是希腊字母${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\,\!}$，或${\displaystyle \mathbf {M} \,\!}$。

力矩与三个物理量有关：施加的作用力${\displaystyle \mathbf {F} \,\!}$、从转轴到施力点的位移向量${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$、两个向量之间的夹角${\displaystyle \theta \,\!}$。力矩${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\,\!}$以向量方程式表示为

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} \,\!}$。

力矩的大小为

${\displaystyle \tau =rF\sin \theta \,\!}$。

定义

用右手定则决定力矩方向

力矩等于作用于杠杆的作用力乘以支点到力的垂直距离。例如，3 牛顿的作用力，施加于离支点2 米处，所产生的力矩，等于1牛顿的作用力，施加于离支点6米处，所产生的力矩。力矩是个向量。力矩的方向与它所造成的旋转运动的旋转轴同方向。力矩的方向可以用右手定则来决定，也可以用叉乘计算。假设作用力垂直于杠杆。将右手往杠杆的旋转方向弯卷，伸直的大拇指与支点的旋转轴同直线，则大拇指指向力矩的方向^[8]。

假设作用力${\displaystyle \mathbf {F} \,\!}$施加于位置为${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$的粒子。选择原点（以红点表示）为参考点，只有垂直分量${\displaystyle F_{\perp }\,\!}$会产生力矩。这力矩${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} \,\!}$的大小为${\displaystyle \tau =|\mathbf {r} ||\mathbf {F} _{\perp }|=|\mathbf {r} ||\mathbf {F} |\sin \theta \,\!}$，方向为垂直于屏幕向外。

更一般地，如图右，假设作用力${\displaystyle \mathbf {F} \,\!}$施加于位置为${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$的粒子。选择原点为参考点，力矩${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\,\!}$以方程式定义为

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\ {\stackrel {def}{=}}\ \mathbf {r} \times \mathbf {F} \,\!}$。

力矩大小为

${\displaystyle \tau =|\mathbf {r} ||\mathbf {F} |\sin \theta \,\!}$；

其中，${\displaystyle \theta \,\!}$是两个向量${\displaystyle \mathbf {F} \,\!}$与${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$之间的夹角。

力矩大小也可以表示为

${\displaystyle \tau =rF_{\perp }\,\!}$；

其中，${\displaystyle F_{\perp }\,\!}$是作用力${\displaystyle \mathbf {F} \,\!}$对于${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$的垂直分量。

任何与粒子的位置向量平行的作用力不会产生力矩。

从叉积的性质，可推论，力矩垂直于位置向量${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$和作用力${\displaystyle \mathbf {F} \,\!}$。力矩的方向与旋转轴平行，由右手定则决定。

与角动量之间的关系

地心引力${\displaystyle \mathbf {F_{g}} \,\!}$的力矩造成角动量${\displaystyle \mathbf {L} \,\!}$的改变。因此，陀螺呈现进动现象。

假设一个粒子的位置为${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$，动量为${\displaystyle \mathbf {p} \,\!}$。选择原点为参考点，此粒子的角动量${\displaystyle \mathbf {L} \,\!}$为

${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} \,\!}$。

粒子的角动量对于时间的导数为

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {L} }{dt}}&={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\times \mathbf {p} +\mathbf {r} \times {\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\\&=\mathbf {v} \times m\mathbf {v} +\mathbf {r} \times m{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\\&=\mathbf {r} \times m\mathbf {a} \\\end{aligned}}\,\!}$ ；

其中，${\displaystyle m\,\!}$是质量，${\displaystyle \mathbf {v} \,\!}$是速度，${\displaystyle \mathbf {a} \,\!}$是加速度。

应用牛顿第二定律，${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} \,\!}$，可以得到

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} \,\!}$。

按照力矩的定义，${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\ {\stackrel {def}{=}}\ \mathbf {r} \times \mathbf {F} \,\!}$，所以，

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}\,\!}$。

作用于一物体的力矩，决定了此物体的角动量${\displaystyle \mathbf {L} \,\!}$对于时间${\displaystyle t\,\!}$的导数。

假设几个力矩共同作用于物体，则这几个力矩的合力矩${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {net} }\,\!}$共同决定角动量的对于时间的变化：

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{1}+\cdots +{\boldsymbol {\tau }}_{n}={\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {net} }={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}\,\!}$。

关于物体的绕著固定轴的旋转运动，

${\displaystyle \mathbf {L} =I{\boldsymbol {\omega }}\,\!}$；

其中，${\displaystyle I\,\!}$是物体对于固定轴的转动惯量，${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\,\!}$是物体的角速度。

所以，取上述方程式对时间的导数：

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {net} }={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} (I{\boldsymbol {\omega }})}{\mathrm {d} t}}=I{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\omega }}}{\mathrm {d} t}}=I{\boldsymbol {\alpha }}\,\!}$；

其中，${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}\,\!}$是物体的角加速度。

单位

力矩的定义是距离乘以作用力。根据国际单位制，力矩的单位是牛顿${\displaystyle \cdot }$米^[9]（Nm）。虽然牛顿与米的次序，在数学上，是可以交换的，但是国际重量测量局（Bureau International des Poids et Mesures）规定这次序应是牛顿${\displaystyle \cdot }$米，而不是米${\displaystyle \cdot }$牛顿^[10]。

根据国际单位制，能量与功量的单位是焦耳，定义为1牛顿${\displaystyle \cdot }$米。但是，焦耳不是力矩的单位。因为，能量是力点积距离的标量；而力矩是距离叉积作用力的向量。当然，量纲相同并不尽是巧合，使1牛顿${\displaystyle \cdot }$米的力矩，作用1 全转，需要恰巧${\displaystyle 2\pi \,\!}$焦耳的能量：

${\displaystyle E=\tau \theta \,\!}$。

其中，${\displaystyle E\,\!}$是能量，${\displaystyle \theta \,\!}$是移动的角度，单位是弧度。

根据英制，力矩的单位是英尺${\displaystyle \cdot }$磅。

矩臂方程式

矩臂图

在物理学外，其他的学术界里，力矩时常会如以下定义：

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=({\text{moment arm}})\cdot {\textrm {force}}\,\!}$。

右图显示出矩臂（moment arm）、前面所提及的相对位置${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$、作用力${\displaystyle \mathbf {F} \,\!}$（force）。这个定义并没有指出力矩的方向，只有力矩的大小。所以，并不适用于三维空间问题。

静力概念

当一个物体在静态平衡时，合力是零，对任何一点的合力矩也是零。二维空间的平衡要求是

${\displaystyle \sum F_{x}=0\,\!}$，

${\displaystyle \sum F_{y}=0\,\!}$，

${\displaystyle \sum \tau =0\,\!}$。

这里，${\displaystyle F_{x},\ F_{y}\,\!}$是作用力${\displaystyle \mathbf {F} \,\!}$分别在x-轴与y-轴的分量。假若，这三个联立方程式有解，则称此系统为静定系统；不然，则称为静不定系统。

力矩、能量和功率之间的关系

假设施加作用力于一物体，使得此物体移动一段距离，则作用力对于此物体做了机械功。类似地，假设施加力矩于一物体，使得此物体旋转一段角位移，则力矩对于此物体做了机械功。对于穿过质心的固定轴的旋转运动，以数学方程式表达，

${\displaystyle W=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\tau \ \mathrm {d} \theta \,\!}$；

其中，${\displaystyle W\,\!}$是机械功，${\displaystyle \theta _{1}\,\!}$、${\displaystyle \theta _{2}\,\!}$分别是初始角和终结角，${\displaystyle \mathrm {d} \theta \,\!}$是无穷小角位移元素。

根据功能定理，${\displaystyle W\,\!}$也代表物体的旋转动能${\displaystyle K_{\mathrm {rot} }\,\!}$的改变，以方程式表达，

${\displaystyle K_{\mathrm {rot} }={\tfrac {1}{2}}I\omega ^{2}\,\!}$。

功率是单位时间内所做的机械功。对于旋转运动，功率${\displaystyle P\,\!}$以方程式表达为

${\displaystyle P={\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {\omega }}\,\!}$。

请注意，力矩注入的功率只跟瞬时角速度有关，而角速度是否在增加中，或在减小中，或保持不变，功率都与这些状况无关。

实际上，在与大型输电网路相连接的发电厂里，可以观察到这关系。发电厂的发电机的角速度是由输电网路的频率设定，而发电厂的功率输出是由作用于发电机转动轴的力矩所决定。

在计算功率时，必须使用一致的单位。采用国际单位制，功率的单位是瓦特，力矩的单位是牛顿-米，角速度的单位是每秒弧度（不是每分钟转速rpm，也不是每秒钟转速）。

力矩原理

力矩原理阐明，几个作用力施加于某位置所产生的力矩的总和，等于这些作用力的合力所产生的力矩。力矩原理又名伐里农定理(Varignon's theorem)^[11]（以法国科学家兼神父皮埃尔·伐里农命名），以方程式表达，

${\displaystyle (\mathbf {r} \times \mathbf {F} _{1})+(\mathbf {r} \times \mathbf {F} _{2})+\cdots =\mathbf {r} \times (\mathbf {F} _{1}+\mathbf {F} _{2}+\cdots )\,\!}$。

参考文献

1. https://terms.naer.edu.tw/detail/09e3fa45b1d9fac0d25d6a44e794f576/?seq=2
2. 存档副本. [2023-05-19]. （原始内容存档于2023-05-19）.
3. Serway, R. A. and Jewett, Jr. J. W. (2003). Physics for Scientists and Engineers. 6th Ed. Brooks Cole. ISBN 978-0-534-40842-8.
4. 存档副本. [2023-05-19]. （原始内容存档于2023-05-19）.
5. 存档副本. [2023-05-19]. （原始内容存档于2023-05-19）.
6. 存档副本. [2023-05-19]. （原始内容存档于2023-05-19）.
7. 存档副本. [2023-05-19]. （原始内容存档于2023-05-19）.
8. *乔治亚州州立大学（Georgia State University）线上物理网页：力矩的右手定則, [2007-09-08], （原始内容存档于2007-08-19）
9. SI brochure Ed. 8, Section 5.1, Bureau International des Poids et Mesures, 2006 [2007-04-01], （原始内容存档于2007-05-19）
10. SI brochure Ed. 8, Section 2.2.2, Bureau International des Poids et Mesures, 2006 [2007-04-01], （原始内容存档于2005-03-16）
11. Engineering Mechanics: Equilibrium, by C. Hartsuijker, J. W. Welleman, page 64

延伸阅读

• Tipler, Paul. Physics for Scientists and Engineers: Mechanics, Oscillations and Waves, Thermodynamics (5th ed.). W. H. Freeman. 2004. ISBN 978-0-7167-0809-4.

参阅

• 马力
• 扭力转换器
• 刚体动力学
• 机械平衡（mechanical equilibrium）
• 扭矩扳手（torque wrench）
• 力矩密度

外部链接

• 模拟力矩平衡的Java小程式（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Torque and Angular Momentum in Circular Motion （页面存档备份，存于互联网档案馆） on Project PHYSNET（页面存档备份，存于互联网档案馆）.
• Torque Unit Converter（页面存档备份，存于互联网档案馆）