费马引理

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费马引理是实分析中的一个定理，以皮埃尔·德·费马命名。通过证明函数的每一个极值都是驻点（函数的导数在该点为零），该定理给出了一个求出可微函数的最大值和最小值的方法。因此，利用费马引理，求函数的极值的问题便化为解方程的问题。

需要注意的是，费马引理仅仅给出了函数在某个点为极值的必要条件。也就是说，有些驻点不是极值，它们是拐点。要想知道一个驻点是不是极值，并进一步区分最大值和最小值，我们需要分析二阶导数（如果它存在）。

定理

设函数f(x)在点x₀的某邻域U(x₀)内有定义，并且在x₀处可导，如果对任意的${\displaystyle x\in U(x_{0})}$，有

${\displaystyle f(x)\leq f(x_{0})}$或${\displaystyle f(x)\geq f(x_{0})}$

那么${\displaystyle f^{\prime }(x_{0})=0}$。

费马引理的一个推论是，函数f在定义域A内的最大值和最小值只能在边界上，不可导的点，或驻点取得。

证明

假设${\displaystyle \displaystyle x_{0}}$是一个极大值（如果${\displaystyle \displaystyle x_{0}}$是极小值，证明亦类似）。那么存在一个${\displaystyle \delta >0}$，使得对于所有的${\displaystyle \displaystyle |x-x_{0}|<\delta }$，都有${\displaystyle f(x_{0})\geq f(x)\,}$。因此对于任何${\displaystyle h\in (0,\delta )}$，有：

${\displaystyle {\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}\leq 0.}$

由于当${\displaystyle \displaystyle h}$从上方趋于0时，这个比值的极限存在且为${\displaystyle \displaystyle f'(x_{0})}$，我们便有${\displaystyle f'(x_{0})\leq 0}$。另一方面，当${\displaystyle h\in (-\delta ,0)}$时，我们注意到：

${\displaystyle {\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}\geq 0}$

当${\displaystyle \displaystyle h}$从下方趋于0时，这个极限存在，且等于${\displaystyle \displaystyle f'(x_{0})}$，我们又有${\displaystyle f'(x_{0})\geq 0}$。

因此${\displaystyle \displaystyle f'(x_{0})=0}$。

参见

• 罗尔定理
• 微分中值定理

外部链接

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