费雪z分布

提示：此条目的主题不是费雪转换。

费雪z分布是F分布随机变数的自然对数0.5倍拉伸量的机率分布：

${\displaystyle z={\frac {1}{2}}\ln F}$

Fisher's z

概率密度函数
参数	${\displaystyle d_{1}>0,\ d_{2}>0}$ deg. of freedom
值域	${\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )\!}$
概率密度函数	${\displaystyle {\frac {2d_{1}^{d_{1}/2}d_{2}^{d_{2}/2}}{B(d_{1}/2,d_{2}/2)}}{\frac {e^{d_{1}x}}{\left(d_{1}e^{2x}+d_{2}\right)^{\left(d_{1}+d_{2}\right)/2}}}\!}$
众数	${\displaystyle 0}$

Ronald Fisher

首次由罗纳德·爱尔默·费雪于1924年在多伦多举办的国际数学家大会的投稿文章所描述。^[1]现今则经常以F分布取代之。

费雪z分布的机率密度函数与累积分布函数可由F分布于${\displaystyle x'=e^{2x}}$求得。然而，其平均数与变异数并不能以相同转换方式求得。

该机率密度函数为^[2][3]

${\displaystyle f(x;d_{1},d_{2})={\frac {2d_{1}^{d_{1}/2}d_{2}^{d_{2}/2}}{B(d_{1}/2,d_{2}/2)}}{\frac {e^{d_{1}x}}{\left(d_{1}e^{2x}+d_{2}\right)^{(d_{1}+d_{2})/2}}}}$

其中B为Β函数。

当自由度很大（${\displaystyle d_{1},d_{2}\rightarrow \infty }$）时，该分布逼近期望值为 ${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{d_{2}}}-{\frac {1}{d_{1}}}\right)}$ 且变异数为 ${\displaystyle \sigma _{x}^{2}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{d_{1}}}+{\frac {1}{d_{2}}}\right)}$ 的常态分布。^[2]

相关分布

• 若${\displaystyle X\sim \operatorname {FisherZ} (n,m)}$则${\displaystyle e^{2X}\sim \operatorname {F} (n,m)}$（F分布）。
• 若${\displaystyle X\sim \operatorname {F} (n,m)}$则${\displaystyle {\tfrac {\log X}{2}}\sim \operatorname {FisherZ} (n,m)}$。

参考资料

1. Fisher, R. A. On a Distribution Yielding the Error Functions of Several Well Known Statistics (PDF). Proceedings of the International Congress of Mathematics, Toronto. 1924, 2: 805–813. （原始内容 (PDF)存档于April 12, 2011）.
2. Leo A. Aroian. A study of R. A. Fisher's z distribution and the related F distribution. The Annals of Mathematical Statistics. December 1941, 12 (4): 429–448. JSTOR 2235955. doi:10.1214/aoms/1177731681 .
3. Charles Ernest Weatherburn. A first course in mathematical statistics. 1961.

外部链接

• MathWorld entry （页面存档备份，存于互联网档案馆）