谢尔宾斯基空间

在数学上，谢尔宾斯基空间（Sierpiński space，又称两点连通空间（connected two-point set））是一个包含两个元素的有限拓朴空间，其中只有一个元素是闭合的。^[1]这个空间是所有非密着且非离散的拓朴空间中最小的，而这空间以波兰数学家瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基的姓氏为名。

因为谢尔宾斯基空间在斯科特拓朴当中，是开集的分类空间（classifying space）之故，因此这集合在可计算性理论和语意处理上有重要的应用。^[2][3]

定义及基本性质

谢尔宾斯基空间${\displaystyle S}$是一个其点集合为${\displaystyle \{0,1\}}$的拓朴空间，其所有的开集如下：

${\displaystyle \{\varnothing ,\{1\},\{0,1\}\}.}$

其所有的闭集如下：

${\displaystyle \{\varnothing ,\{0\},\{0,1\}\}.}$

也就是说，其单点集${\displaystyle \{0\}}$是闭集，而其单点集${\displaystyle \{1\}}$是开集，另外此处的${\displaystyle \varnothing }$代表空集合。

此空间的闭包如下：

${\displaystyle {\overline {\{0\}}}=\{0\},\qquad {\overline {\{1\}}}=\{0,1\}.}$

一个有限的拓朴空间亦可由其特殊化预序唯一定义，当中，这预序是一个偏序，其形式如下：

${\displaystyle 0\leq 0,\qquad 0\leq 1,\qquad 1\leq 1.}$

拓朴性质

谢尔宾斯基空间${\displaystyle S}$是特定点拓朴（particular point topology）（谢尔宾斯基空间的特定点为1）和排除点拓朴（excluded point topology）（谢尔宾斯基空间的排除点为0）的一个特殊例子，因此谢尔宾斯基空间和这两类拓朴空间有许多共通之处。

分离性

• 在谢尔宾斯基空间中，0和1这两点是拓扑可区分的，这是因为${\displaystyle \{1\}}$是一个只包含这两者其中一点的开集之故，因此谢尔宾斯基空间是一个柯尔莫果洛夫空间（${\displaystyle T_{0}}$空间）。
• 然而谢尔宾斯基空间不是一个${\displaystyle T_{1}}$空间，这是因为${\displaystyle \{1\}}$这个单点集不是闭集之故，也因此谢尔宾斯基空间不是豪斯多夫空间或${\displaystyle T_{n}}$空间（其中${\displaystyle n\geq 1}$）。
• 然而谢尔宾斯基空间不是正则空间或完全正则空间，这是因为1这个点及其不相交集合${\displaystyle \{0\}}$不能以邻域分离之故（另外点能以邻域分离的${\displaystyle T_{0}}$空间是豪斯多夫空间）。
• 然而谢尔宾斯基空间可视为正规空间和完全正规空间，这是因为这空间中没有非空的分离集合所致。
• 然而谢尔宾斯基空间不是完美正规空间，这是因为其彼此不相交的闭合${\displaystyle \varnothing }$和${\displaystyle \{0\}}$无法由函数完全分离所致。事实上，谢尔宾斯基空间的${\displaystyle \{0\}}$不能是任何连续函数${\displaystyle S\to R}$的零集（zero set），而这是因为任何这样的连续函数都是常函数所致。

连通性

• 谢尔宾斯基空间同时是个超连通空间（Hyperconnected space）（这是因为其所有的非空开集都包含1所致）和特连通空间（Ultraconnected space）（这是因为其所有的非空闭集都包含0所致）。
• 谢尔宾斯基空间是个连通空间和道路连通空间。
• 一条连通谢尔宾斯基空间当中的0和1的道路${\displaystyle f:I\to S}$可定义如次：${\displaystyle f(0)=0}$且对于所有的${\displaystyle t>0}$而言${\displaystyle f(t)=1}$，这个函数是连续的，因为${\displaystyle f^{-1}(1)=(0,1]}$在${\displaystyle I}$是开集。
• 和所有的有限拓朴空间一样，谢尔宾斯基空间是个局部道路连通空间。
• 谢尔宾斯基空间是个可压缩空间（contractible space），因此其基本群是个当然群（这点对高阶同伦群（higher homotopy groups）也成立）。

紧致性

• 和所有有限拓朴空间一样，谢尔宾斯基空间是个紧致空间和第二可数空间。
• 谢尔宾斯基空间的紧子集${\displaystyle \{1\}}$不是闭集，而这显示了${\displaystyle T_{0}}$空间的紧集不必然是闭集。
• 任何谢尔宾斯基空间的开覆盖都必然包含谢尔宾斯基空间本身，这是因为谢尔宾斯基空间为0的唯一的开邻域之故，因此任何的谢尔宾斯基空间的开覆盖都有包含一个集合的子覆盖，就是${\displaystyle \{S\}}$。
• 而这表示说谢尔宾斯基空间是个满正规空间（fully normal space，仿紧空间的一个子类）。^[4]

收敛性

• 任何谢尔宾斯基空间当中的序列都收敛至0，这是因为在谢尔宾斯基空间当中，0唯一的邻域是谢尔宾斯基空间本身。
• 在谢尔宾斯基空间当中一个序列收敛至1，当且仅当该序列仅有有限多项为0。
• 在谢尔宾斯基空间当中，1是某序列的一个聚集点，当且仅当该序列包含无限多项的1。
• 例子如下：
  • 1不是${\displaystyle (0,0,0,0,...)}$这序列的聚集点。
  • 1是${\displaystyle (0,1,0,1,0,1,...)}$这序列的聚集点1，但并非极限点。
  • ${\displaystyle (1,1,1,1,...)}$这序列同时收敛至0和1。

度量化可能性

• 谢尔宾斯基空间不是可度量化的空间，甚至也不是可伪度量化的空间，这是因为任何伪度量化的空间都必须是完全正则空间，而谢尔宾斯基空间就连正则空间都不是之故。
• 谢尔宾斯基空间可由伪拟度量生成，其中${\displaystyle d(0,1)=0}$且${\displaystyle d(1,0)=1}$。

其他性质

• 谢尔宾斯基空间只有三个映至自身的连续函数：恒等函数、两个分别映至0和1的常函数。
• 而这表示说谢尔宾斯基空间的同胚群（英语：homeomorphism group）是当然群。

映至谢尔宾斯基空间的连续函数

设${\displaystyle X}$是一个任意集合，那么一般会将所有从${\displaystyle X}$映至${\displaystyle \{0,1\}}$的函数的集合给记做${\displaystyle 2^{X}}$，这些函数即是${\displaystyle X}$的指示函数，所有的指示函数都有如下的形式：

${\displaystyle \chi _{U}(x)={\begin{cases}1&x\in U\\0&x\not \in U\end{cases}}}$

在其中${\displaystyle U}$是${\displaystyle X}$的一个子集。换句话说${\displaystyle 2^{X}}$这个函数的集合和${\displaystyle X}$的幂集${\displaystyle P(X)}$间，有著双射的关系。每个${\displaystyle X}$的子集${\displaystyle U}$都有自己的指示函数${\displaystyle \chi _{U}}$，而每个从${\displaystyle X}$映至${\displaystyle \{0,1\}}$的函数都有如此的形式。

现在假定${\displaystyle X}$是个拓朴空间，而${\displaystyle \{0,1\}}$有著谢尔宾斯基拓朴，那么${\displaystyle \chi _{U}:X\to S}$是个连续函数，当且仅当${\displaystyle \chi _{U}^{-1}(U):X\to S}$在${\displaystyle X}$中是个开集；然而根据定义，我们有

${\displaystyle \chi _{U}^{-1}(1)=U.}$

因此${\displaystyle \chi _{U}}$是个连续函数，当且仅当${\displaystyle U}$在${\displaystyle X}$中是个开集。

假定${\displaystyle C(X,S)}$是所有从${\displaystyle X}$映至${\displaystyle S}$的连续函数的集合，并假定${\displaystyle T(X)}$是${\displaystyle X}$的拓朴（也就是所有开集的集族），那么就存在一个从${\displaystyle T(X)}$映至${\displaystyle C(X,S)}$的双射，这映射会将${\displaystyle U}$映至${\displaystyle \chi _{U}}$之上。

${\displaystyle C(X,S)\cong {\mathcal {T}}(X)}$

也就是说，假若将${\displaystyle 2^{X}}$和${\displaystyle P(X)}$对等，那么其连续映射的子集${\displaystyle C(X,S)\subset 2^{X}}$会是${\displaystyle T(X)\subset P(X)}$的拓朴。

一个特别值得注意的例子是在对偏序集合的斯科特拓朴中，谢尔宾斯基空间会在指示函数保持定向连接（directed join）的状况下，成为其开集的分类空间。^[5]

范畴论的描述

上述的结构可以用范畴论的语言很好地表达。有个从拓扑空间范畴到集合范畴的反变函子${\displaystyle T:Top\to Set}$将每个拓朴空间${\displaystyle X}$给指派给其开集的集合${\displaystyle T(X)}$，并将每个连续函数${\displaystyle f:X\to Y}$给指派给其原像：

${\displaystyle f^{-1}:{\mathcal {T}}(Y)\to {\mathcal {T}}(X).}$

而相关叙述如下：${\displaystyle T}$这个函子由${\displaystyle (S,\{1\})}$表示，其中${\displaystyle S}$为谢尔宾斯基空间，也就是说，${\displaystyle T}$和同态函子（Hom functor）${\displaystyle Hom(-,S)}$间有著自然同构，而这自然同构由泛元素${\displaystyle \{1\}\in T(S)}$决定，而这可由预层的概念一般化。^[6]

初拓扑

任何的拓朴空间${\displaystyle X}$都有由映至谢尔宾斯基空间的连续函数的集族${\displaystyle C(X,S)}$所引致的初拓扑。事实上，若要将${\displaystyle X}$的拓朴变得更加粗糙，那就必须将一些开集给移除；然而若将开集${\displaystyle U}$给移除，那么${\displaystyle \chi _{U}}$这个函数就会变得不连续，因此在${\displaystyle C(X,S)}$当中的每个函数都连续的情况下，${\displaystyle X}$有著最粗糙的拓朴。

函数的集族${\displaystyle C(X,S)}$区分${\displaystyle X}$上的点，当且仅当${\displaystyle X}$是个${\displaystyle T_{0}}$空间。${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$这两点可由指示函数${\displaystyle \chi _{U}}$区分，当且仅当开集${\displaystyle U}$包含其中一点但不同时包含两者。这也就是${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$拓朴可区分的确实含意。

也就是说，若${\displaystyle X}$是个${\displaystyle T_{0}}$空间，那就可以将${\displaystyle X}$给嵌入谢尔宾斯基空间的积空间中，在其中对于每个${\displaystyle X}$的开集${\displaystyle U}$而言，都有一个${\displaystyle S}$的复本与之对应。其嵌入函数

${\displaystyle e:X\to \prod _{U\in {\mathcal {T}}(X)}S=S^{{\mathcal {T}}(X)}}$

可由下列函数得出：

${\displaystyle e(x)_{U}=\chi _{U}(x).\,}$

由于${\displaystyle T_{0}}$空间的子空间和积空间还是${\displaystyle T_{0}}$空间之故，因此一个拓朴空间是${\displaystyle T_{0}}$空间，当且仅当其与谢尔宾斯基空间的积空间的某个子空间同胚。

在代数几何中

在代数几何中，谢尔宾斯基空间会作为${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$（整数在质数${\displaystyle p}$生成的素理想上的局部化）之类的离散赋值环（Discrete valuation ring）${\displaystyle R}$的谱${\displaystyle Spec(R)}$出现。其中${\displaystyle Spec(R)}$起自零理想的一般点（generic point）会对应至开集点1；而${\displaystyle Spec(R)}$起自极大理想的特殊点（special point）会对应至闭集点0。

参见

• 有限拓朴空间（Finite topological space）
• 拓朴列表（List of topologies）
• 伪圆（Pseudocircle）