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其中,S和T不必然需要是子群。其乘积的结合律源自群的结合律。因此,群子集的乘积定义出了一个于G幂集上的自然幺半群结构。
即使S和T为G的子群,其乘积也不必然会是个子群。其乘积为子群若且唯若ST = TS。在这一情形之下,ST会是个由S和T生成出的群,即ST = TS = <S ∪ T>。若S或T有一是G的正规子群,上述情形便会满足,ST会是个子群。设S是正规子群,则根据第二同构定理,S ∩ T是T的正规子群且ST/S 同构于 T/(S ∩ T)。
若G为一有限群,且S和T为G的子群,则ST的元素个数可由乘积公式给定:
即使S和T都不是正规子群,上述公式也一样适用。
特别地,如果S和T的交集仅为单位元,那么ST的每一个元素都可以唯一地表示为乘积st,其中s位于S内,t位于T内。如果 S和T还是可交换的,那么ST就是一个群,称为扎帕-塞普乘积。更进一步,如果S或T在ST中正规,那么ST便称为半直积。最后,如果S和T都在ST中正规,那么ST便称为直积。
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