cis函数

在微积分学中，cis函数又称纯虚数指数函数，是复变函数的一种，和三角函数类似，其可以使用正弦函数和馀弦函数${\displaystyle \operatorname {cis} x=\cos x+i\sin x}$来定义，是一种实变数复数值函数（英语：Complex-valued function），其中${\displaystyle i}$为虚数单位，而cis则为cos + i sin的缩写。

提示：此条目的主题不是欧拉公式。

cis函数示意图

一个可以代表cis函数的图形，蓝色是实数部、橘色是虚数部

cis函数
性质
奇偶性	N/A
定义域	(-∞,∞)
到达域	${\displaystyle \left|\operatorname {cis} x\right|=1\,,\operatorname {cis} x\in \mathbb {C} }$
周期	2π
特定值
当x=0	1
当x=+∞	N/A
当x=-∞	N/A
最大值	复数无法比大小
最小值	复数无法比大小
其他性质
渐近线	N/A
根	N/A
临界点	N/A
拐点	kπ
不动点	0
k是一个整数.

概观

cis函数是欧拉公式等号右侧的所形的组合函数简写：

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$

其中i表示虚数单位${\displaystyle i^{2}=-1}$。因此

${\displaystyle \operatorname {cis} x=\cos x+i\sin x,}$^[1][2][3]

cis符号最早由威廉·哈密顿在他于1866出版的《Elements of Quaternions》中使用^[4]，而Irving Stringham在1893出版的《Uniplanar Algebra》 ^[5][6] 以及James Harkness和Frank Morley在1898出版的《Theory of Analytic Functions》中皆沿用了此一符号 ^[6][7] ，其利用欧拉公式将三角函数与复平面的指数函数连结起来。

cis函数主要的功能为简化某些数学表达式，透过cis函数可以使部分数学式能更简便地表达^[4][5][8]，例如傅里叶变换和哈特利变换的结合^[9][10][11]，以及应用在教学上时，因某些因素（如课程安排或课纲需求）因故不能使用指数来表达数学式时，cis函数就能派上用场。

性质

cis函数的定义域是整个实数集，值域是单位复数，绝对值为1的复数。它是周期函数，其最小正周期为${\displaystyle 2\pi }$。其图像关于原点对称。

上述文字称它以类似三角函数的形式来定义函数的原因是，就如同三角函数，他也算是一种比值，复数和其模的比值:

${\displaystyle \operatorname {cis} \theta ={\frac {z}{\left|z\right|}}}$，其中${\displaystyle z}$是辐角为${\displaystyle \theta }$的复数

因此，当一复数的模为1，其反函数就是辐角（arg函数）。

${\displaystyle \operatorname {cis} }$函数可视为求单位复数的函数。

${\displaystyle \operatorname {cis} }$函数的实数部分和馀弦函数相同。

cis函数 定义在复数。图中，颜色代表辐角，高代表模

微分

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {cis} z=i\operatorname {cis} z=ie^{iz}}$^[1][12]

积分

${\displaystyle \int \operatorname {cis} z\,\mathrm {d} z=-i\operatorname {cis} z=-ie^{iz}}$^[1]

其他性质

根据欧拉公式，cis函数有以下性质：

${\displaystyle \operatorname {cis} (x+y)=\operatorname {cis} x\,\operatorname {cis} y}$^[13]

${\displaystyle \operatorname {cis} (x-y)={\operatorname {cis} x \over \operatorname {cis} y}}$

上述性质是当${\displaystyle x}$与${\displaystyle y}$都是复数时成立。在${\displaystyle x}$与${\displaystyle y}$都是实数时，有以下不等式：

${\displaystyle |\operatorname {cis} x-\operatorname {cis} y|\leq |x-y|.}$^[13]

命名

由于${\displaystyle \operatorname {cis} }$函数的值为“馀弦加上虚数单位倍的正弦”，取其英文缩写cosine and imaginary unit sine，故以${\displaystyle \operatorname {cis} }$来表示该函数。

欧拉公式

主条目：欧拉公式

在数学上，为了简化欧拉公式${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x\ }$，因此将欧拉公式以类似三角函数的形式来定义函数，给出了cis函数的定义^{[1][9][8][2][14][10][11][15]}：

${\displaystyle \operatorname {cis} \theta =\cos \theta +i\;\sin \theta }$

并且一般定义域为${\displaystyle \theta \in \mathbb {R} \,}$，值域为${\displaystyle \theta \in \mathbb {C} \,}$。

当${\displaystyle \theta }$值为复数时，${\displaystyle \operatorname {cis} }$函数仍然是有效的，因此可利用cis函数将欧拉公式推广到更复杂的版本。^[16]

棣莫弗公式

主条目：棣莫弗公式

在数学上，为了方便起见，可以将棣莫弗公式写成以下形式：

${\displaystyle \operatorname {cis} ^{n}(x)=\operatorname {cis} (nx)}$

指数定义

跟其他三角函数类似，可以用e的指数来表示，依照欧拉公式给出: ${\displaystyle \operatorname {cis} \theta =e^{i\theta }}$

反函数

${\displaystyle \operatorname {cis} }$的反函数：${\displaystyle \operatorname {arccis} x}$，当代入模为1的复数时，所得的值是其辐角

类似其他三角函数，${\displaystyle \operatorname {cis} }$的反函数也可以用自然对数来表示

${\displaystyle \operatorname {arccis} \,x=-{\mathrm {i} }\ln x\,}$

当一复数经过符号函数后代入${\displaystyle \operatorname {arccis} x}$可得辐角。

恒等式

${\displaystyle \operatorname {cis} }$函数的倍角公式似乎比三角函数简单许多

半形公式

${\displaystyle \operatorname {cis} {\frac {\theta }{2}}={\frac {(1+i)+(1-i)\cos \theta }{\sin \theta }}}$

${\displaystyle \operatorname {cis} {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\operatorname {cis} \theta }}}$

倍角公式

${\displaystyle \operatorname {cis} 2\theta =\operatorname {cis} ^{2}\theta }$

${\displaystyle \operatorname {cis} n\theta =\operatorname {cis} ^{n}\theta }$

幂简约公式

${\displaystyle \operatorname {cis} ^{n}\theta =\operatorname {cis} n\theta }$

相关函数

馀cis函数

cocis函数，正好跟cis上下颠倒，周期相同，但是位移了${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$

就如同三角函数，我们可以令：${\displaystyle \operatorname {cocis} \theta =\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)+i\;\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\sin \theta +i\;\cos \theta }$，其可用于诱导公式来化简某些特定的${\displaystyle \operatorname {cis} }$函数的式子。

至于指数定义，经过正弦和馀弦的指数定义得:

${\displaystyle \operatorname {cocis} \theta ={\frac {(1-i)e^{i\theta }+(1+i)e^{-i\theta }}{2}}}$

有恒等式:

${\displaystyle \operatorname {cis} (-\theta )=-i\operatorname {cocis} \theta }$

${\displaystyle \operatorname {cis} \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\operatorname {cocis} \theta }$

${\displaystyle \operatorname {cis} \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)=i\operatorname {cis} \theta }$

${\displaystyle \operatorname {cis} (\pi +\theta )=-\operatorname {cis} \theta }$

${\displaystyle \operatorname {cocis} (-\theta )=i\operatorname {cis} \theta }$

${\displaystyle \operatorname {cocis} \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\operatorname {cis} \theta }$

${\displaystyle \operatorname {cocis} \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)=-i\operatorname {cocis} \theta }$

${\displaystyle \operatorname {cocis} (\pi +\theta )=-\operatorname {cocis} \theta }$

双曲cis函数

cish函数（${\displaystyle \cosh +i\sinh }$）在几何意义上与cis函数对应的双曲函数不同。在双曲几何中，与欧几里得几何对应cis函数应为：

${\displaystyle e^{\theta }=\cosh(\theta )+\sinh(\theta )}$

然而当中的${\displaystyle i}$若定义为负一的平方根，则其会变为^[17]：

${\displaystyle \operatorname {cish} \theta =\cosh(\theta )+i\sinh(\theta )}$

双曲复数

主条目：双曲复数

在一般的情况下，cis函数对应的双曲函数定义域和值域皆为实数，但若定义双曲复数，考虑数${\displaystyle z=x+jy}$，其中${\displaystyle x,y}$是实数，而量${\displaystyle j}$不是实数，但${\displaystyle j^{2}}$是实数。选取${\displaystyle j^{2}=-1}$，得到一般复数。取${\displaystyle +1}$的话，便得到双曲复数。

而双曲复数有对应的欧拉公式:${\displaystyle e^{j\theta }=\cosh(\theta )+j\sinh(\theta )}$

${\displaystyle \operatorname {cish} \theta =\cosh(\theta )+j\sinh(\theta )}$

其中j为双曲复数。

因此双曲cis函数得到的值为双曲复数，相反的若将其反函数带入模为一的双曲复数可得其辐角。

如此一来，值域将会变成分裂四元数。

cas函数

cas函数是一个以类似cis函数的概念定义的一个函数，为雷夫·赫特利（英语：Ralph Hartley）于1942提出，其定义为${\displaystyle \mathrm {cas} (x):=\cos x+\sin x}$，是一种实变数实值函数，而cas为“cosine-and-sine”的缩写，其表示了实数值的赫特利变换（英语：Hartley transform）^[18][19]：

${\displaystyle \mathrm {cas} (x)=\cos x+\sin x}$

cas函数存在一些恒等式：

${\displaystyle 2\operatorname {cas} (a+b)=\operatorname {cas} (a)\operatorname {cas} (b)+\operatorname {cas} (-a)\operatorname {cas} (b)+\operatorname {cas} (a)\operatorname {cas} (-b)-\operatorname {cas} (-a)\operatorname {cas} (-b).\,}$

角和公式：

${\displaystyle \operatorname {cas} (a+b)={\cos(a)\operatorname {cas} (b)}+{\sin(a)\operatorname {cas} (-b)}=\cos(b)\operatorname {cas} (a)+\sin(b)\operatorname {cas} (-a)\,}$

微分：

${\displaystyle \operatorname {cas} '(a)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} a}}\operatorname {cas} (a)=\cos(a)-\sin(a)=\operatorname {cas} (-a).}$

参见

• 正弦
• 馀弦
• 复数 (数学)
• 三角函数
• 三角函数恒等式
• 欧拉公式

参考文献

1. Weisstein, Eric W. (编). Cis. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2016-01-09]. （原始内容存档于2016-01-27） （英语）.
2. Simmons, Bruce. Cis. Mathwords: Terms and Formulas from Algebra I to Calculus. Oregon City, OR, US: Clackamas Community College, Mathematics Department. 2014-07-28 [2004] [2016-01-15]. （原始内容存档于2016-01-19）.
3. Rationale for International Standard - Programming Languages - C (PDF). 5.10: 114, 117, 183, 186–187. April 2003 [2010-10-17]. （原始内容存档 (PDF)于2016-06-06）.
4. Hamilton, William Rowan. II. Fractional powers, General roots of unity. 写于Dublin. Hamilton, William Edwin (编). Elements of Quaternions. University Press, Michael Henry Gill, Dublin (printer) 1. London, UK: Longmans, Green & Co. 1866-01-01: 250–257, 260, 262–263 [2016-01-17]. […] cos […] + i sin […] we shall occasionally abridge to the following: […] cis […]. As to the marks […], they are to be considered as chiefly available for the present exposition of the system, and as not often wanted, nor employed, in the subsequent practise thereof; and the same remark applies to the recent abrigdement cis, for cos + i sin […] ([1], [2])
5. Stringham, Irving. Uniplanar Algebra, being part 1 of a propædeutic to the higher mathematical analysis 1. C. A. Mordock & Co. (printer) 1. San Francisco, US: The Berkeley Press. 1893-07-01: 71–75, 77, 79–80, 82, 84–86, 89, 91–92, 94–95, 100–102, 116, 123, 128–129, 134–135 [1891] [2016-01-18]. As an abbreviation for cos θ + i sin θ it is convenient to use cis θ, which may be read: sector of θ.
6. Cajori, Florian. A History of Mathematical Notations 2 2 (3rd corrected printing of 1929 issue). Chicago, US: Open court publishing company. 1952: 133 [March 1929] [2016-01-18]. ISBN 978-1-60206-714-1. ISBN 1-60206-714-7. Stringham denoted cos β + i sin β by "cis β", a notation also used by Harkness and Morley. (NB. ISBN and link for reprint of 2nd edition by Cosimo, Inc., New York, US, 2013.)
7. Harkness, James; Morley, Frank. Introduction to the Theory of Analytic Functions 1. London, UK: Macmillan and Company. 1898: 18, 22, 48, 52, 170 [2016-01-18]. ISBN 978-1-16407019-1. ISBN 1-16407019-3. (NB. ISBN for reprint by Kessinger Publishing, 2010.)
8. Swokowski, Earl; Cole, Jeffery. Precalculus: Functions and Graphs. Precalculus Series 12 (Cengage Learning). 2011 [2016-01-18]. ISBN 978-0-84006857-6. ISBN 0-84006857-3.
9. L.-Rundblad, Ekaterina; Maidan, Alexei; Novak, Peter; Labunets, Valeriy. Fast Color Wavelet-Haar-Hartley-Prometheus Transforms for Image Processing. 写于Prometheus Inc., Newport, USA. Byrnes, Jim (编). Computational Noncommutative Algebra and Applications (PDF). NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry (NAII) 136. Dordrecht, Netherlands: Springer Science + Business Media, Inc. 2004: 401-411 [2017-10-28]. ISBN 978-1-4020-1982-1. ISSN 1568-2609. doi:10.1007/1-4020-2307-3. （原始内容存档 (PDF)于2017-10-28）.
10. Kammler, David W. A First Course in Fourier Analysis 2. Cambridge University Press. 2008-01-17 [2017-10-28]. ISBN 978-1-13946903-6. ISBN 1-13946903-7. （原始内容存档于2018-10-17）.
11. Lorenzo, Carl F.; Hartley, Tom T. The Fractional Trigonometry: With Applications to Fractional Differential Equations and Science. John Wiley & Sons. 2016-11-14 [2017-10-28]. ISBN 978-1-11913942-3. ISBN 1-11913942-2. （原始内容存档于2018-10-17）.
12. Fuchs, Martin. Chapter 11: Differenzierbarkeit von Funktionen. Analysis I (PDF) WS 2011/2012. Fachrichtung 6.1 Mathematik, Universität des Saarlandes, Germany´. 2011: 3, 13 [2016-01-15]. （原始内容 (PDF)存档于2021-07-10） （德语）.
13. Fuchs, Martin. Chapter 8.IV: Spezielle Funktionen – Die trigonometrischen Funktionen. Analysis I (PDF) WS 2011/2012. Fachrichtung 6.1 Mathematik, Universität des Saarlandes, Germany´. 2011: 16–20 [2016-01-15]. （原始内容 (PDF)存档于2021-01-20） （德语）.
14. Simmons, Bruce. Polar Form of a Complex Number. Mathwords: Terms and Formulas from Algebra I to Calculus. Oregon City, OR, US: Clackamas Community College, Mathematics Department. 2014-07-28 [2004] [2016-01-15]. （原始内容存档于2016-01-23）.
15. Pierce, Rod. Complex Number Multiplication. Maths Is Fun. 2016-01-04 [2000] [2016-01-15]. （原始内容存档于2016-01-15）.
16. Moskowitz, Martin A. A Course in Complex Analysis in One Variable. World Scientific Publishing Co. 2002: 7. ISBN 981-02-4780-X.
17. Ahangar, Reza. The Relativistic Geometry of the Complex Matter Space. Journal of Applied Mathematics and Physics. 2017-01, 05: 422–438. doi:10.4236/jamp.2017.52037.
18. Hartley, Ralph V. L. A More Symmetrical Fourier Analysis Applied to Transmission Problems. Proceedings of the IRE. March 1942, 30 (3): 144–150 [2018-10-18]. doi:10.1109/JRPROC.1942.234333. （原始内容存档于2018-10-18）.
19. Bracewell, Ronald N. The Fourier Transform and Its Applications 3. McGraw-Hill. June 1999 [1985, 1978, 1965]. ISBN 978-0-07303938-1.