离散型均匀分布

在统计学及概率理论中，离散型均匀分布是离散型概率分布，其中有限个数值拥有相同的概率。离散型均匀分布的另一种说法为“有限个结果，各结果的概率均相同”。

离散型均匀分布

概率质量函数 n=5 where n=b-a+1
累积分布函数
参数	${\displaystyle a\in (...,-2,-1,0,1,2,...)\,}$ ${\displaystyle b\in (...,-2,-1,0,1,2,...)\,}$ ${\displaystyle n=b-a+1\,}$
值域	${\displaystyle k\in \{a,a+1,...,b-1,b\}\,}$
概率质量函数	${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{n}}&{\mbox{for }}a\leq k\leq b\ \\0&{\mbox{otherwise }}\end{matrix}}}$
累积分布函数	${\displaystyle {\begin{matrix}0&{\mbox{for }}k<a\\{\frac {k-a+1}{n}}&{\mbox{for }}a\leq k\leq b\\1&{\mbox{for }}k>b\end{matrix}}}$
期望值	${\displaystyle {\frac {a+b}{2}}\,}$
中位数	${\displaystyle {\frac {a+b}{2}}\,}$
众数	N/A
方差	${\displaystyle {\frac {n^{2}-1}{12}}\,}$
偏度	${\displaystyle 0\,}$
峰度	${\displaystyle -{\frac {6(n^{2}+1)}{5(n^{2}-1)}}\,}$
熵	${\displaystyle \ln(n)\,}$
矩生成函数	${\displaystyle {\frac {e^{at}-e^{(b+1)t}}{n(1-e^{t})}}\,}$
特征函数	${\displaystyle {\frac {e^{iat}-e^{i(b+1)t}}{n(1-e^{it})}},}$

像均匀的骰子就是离散型均匀分布的例子，可能的值为1, 2, 3, 4, 5, 6，而每一个数字的机率都是1/6。但若同时丢二个均匀骰子，将其值相加，就不是离散型均匀分布了，因为各个和的机率不同。 离散型均匀分布常用来描述结果为数字的分布，不过离散型均匀分布也可以描述结果是有限集合的分布。例如随机置换（英语：random permutation）就是由已知长度的置换中均匀随机产生的组合，而均匀生成树（英语：uniform spanning tree）是由给定的树中均匀随机产生的生成树。

离散型均匀分布在本质上是非参数（non-parametric）的。不过要表示其值很容易，就用[a,b]之间的所有整数即可，因此a和b就是离散型均匀分布的主要参数（也常常改为考虑区间[1,n]，只保留一个参数n）。若用这种表示法，针对任意k ∈ [a,b]的累积分布函数（CDF）为

${\displaystyle F(k;a,b)={\frac {\lfloor k\rfloor -a+1}{b-a+1}}}$

最大值估计

主条目：德国坦克问题

我们将会讨论德国坦克问题的例子，将最大值估计应用于二战期间德国坦克产量的估计。

设k 个观测值的样本是从一下整数的均匀分布中获得的：${\displaystyle 1,2,\dotsc ,N}$ 而问题就是估计未知的最大 N。 最大值的均匀最小变异数无偏 (UMVU) 估计量为下列式子：${\displaystyle {\hat {N}}={\frac {k+1}{k}}m-1=m+{\frac {m}{k}}-1}$其中 m 是样本最大值，k 是样本大小，而且无放回抽样。 这可被看作为最大间距估计的一个非常简单的例子。

这个式子也有一个变样版本： ${\displaystyle {\frac {1}{k}}{\frac {(N-k)(N+1)}{(k+2)}}\approx {\frac {N^{2}}{k^{2}}}{\text{ for small samples }}k\ll N}$ 该式中的标准差被大约表示为${\displaystyle {\tfrac {N}{k}}}$，也就是样本之间差距的平均大小，与${\displaystyle {\tfrac {m}{k}}}$作比较。

样本最大值是总体最大值的最大似然估计，然而，该方法存在偏差。

若样本没有编号但可被识别或标记，则可透过捕获再捕获方法以估计族群规模。

随机排列

主条目：随机数列

有关均匀分布随机排列的固定点数量的机率分布的说明，请参阅主条目。